Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Dessa forma, temos por (3.8) que
Λ φ 0 , φ 1 , γ 0 , γ 1 = φ 0 , φ 1 , γ 0 , γ 1
F ′ . (3.19)
É fácil ver que Λ é bilinear e injetiva. Temos ainda, aplicando a desigualdade de Schwarz
em (3.19) , que
Λ φ 0 , φ 1 , γ 0 , γ 1 ≤ 0 1
φ , φ
F
γ 0 , γ 1 F ′ ,
ou seja, a forma bilinear Λ, definida em D (Ω) × D (Ω) , também é contínua.
Representaremos por F o espaço de Hilbert, dado pelo completamento de D (Ω)×D (Ω)
com respeito à norma definida em (3.17) .
A forma bilinear {{φ 0 , φ 1 } , {γ 0 , γ 1 }} ↦→ 〈Λ {φ 0 , φ 1 } , {γ 0 , γ 1 }〉 tem uma extensão, por
continuidade, ao fecho F. Então obtemos a forma bilinear contínua no espaço de Hilbert
F , a qual é coerciva, por (3.18) . Logo pelo Lema de Lax-Milgram (Lema 1.5), para cada
{η 0 , η 1 } ∈ F ′ , existe uma única {φ 0 , φ 1 } ∈ F , tal que
Λ φ 0 , φ 1 , γ 0 , γ 1 = η 0 , η 1 , γ 0 , γ 1
F ′ ×F ,
para toda {γ 0 , γ 1 } ∈ F. Portanto, para cada {η 0 , η 1 } ∈ F ′ , existe uma única {φ 0 , φ 1 } ∈ F ,
a qual é solução da equação Λ {φ 0 , φ 1 } = {η 0 , η 1 } em F ′ . Sendo Λ bijetiva e contínua, pelo
Teorema da Aplicação Aberta (Teorema 1.1), temos que Λ : F → F ′ é um isomorfismo.
Conseqüentemente, para cada {y 1 , y 0 } ∈ F ′ , existe uma única {φ 0 , φ 1 } ∈ F tal que
Λ φ 0 , φ 1 = y 1 , −y 0 em F ′ .
Como a aplicação Λ foi definida por Λ {φ 0 , φ 1 } = {ψ ′ (0) , −ψ (0)} , onde ψ é a solução
do problema não homogêneo (3.7), então ψ (0) = y 0 e ψ ′ (0) = y 1 . Assim, considerando o
controle v = ∂φ
∂ν
em (3.1), temos que ψ e y são soluções ultra fracas do mesmo problema com
valor na fronteira não homogêneo, e pela unicidade de solução, segue que y satisfaz (3.7) 3 ,
ou seja, a condição (3.2) .
Agora faremos a caracterização dos espaços F e F ′ como espaços de Sobolev. Na verdade
mostraremos que F = H 1 0 (Ω) × L 2 (Ω) . De fato,
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