Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Por outra parte, usando a identidade de Green, temos
− ∆ψφdxdt = ∇ψ∇φdxdt = − ∆φψdxdt +
Q
Q
Q
Σ
∂φ
ψdΣ. (3.13)
∂ν
Assim, substituindo as igualdades (3.12) e (3.13) em (3.9) , obtemos:
− ψ ′ (0) , φ 0 + ψ (0) , φ 1
+
∂φ
ψdΓdt = 0,
∂ν
(3.14)
pois φ ′′ − ∆φ = 0 q.s. em Q. Tendo em conta (3.7) 2 , segue de (3.14), que
− ψ (0) , φ 1 + ψ ′ (0) , φ 0
=
Temos por (3.8) e (3.15) que
0 1
Λ φ , φ , φ 0 , φ 1 = {ψ ′ (0) , −ψ (0)} , φ 0 , φ 1
=
Definamos em D (Ω) × D (Ω) a seguinte forma quadrática:
φ 0 , φ 1 = F
Σ0
Σ
Σ0
2 ∂φ
dΓdt. (3.15)
∂ν
Σ0
2 ∂φ
dΓdt. (3.16)
∂ν
1
2
2
∂φ
dΓdt , (3.17)
∂ν
a qual é uma seminorma. Pelo Teorema de Unicidade de Holmgren (ver [9]), temos que para
todo subconjunto aberto e não vazio Γ0 ⊂ Γ, existe T0 > 0, tal que, quando T > T0 a única
solução de (3.6) com ∂φ
∂ν = 0 em Σ0 é φ ≡ 0. Isto implica que · F define uma norma em
D (Ω) × D (Ω) .
A norma (3.17) induz em D (Ω) × D (Ω) o produto interno
0 1
φ , φ , γ 0 , γ 1
F =
∂φ ∂γ
dΓdt,
∂ν ∂ν
(3.18)
onde γ = γ (x, t) é a solução de (3.6), correspondente ao dado inicial {γ 0 , γ 1 } ∈ D (Ω)×D (Ω) .
Multiplicando (3.7) 1 por γ e, em seguida, integrando em Q, obtemos
γ (ψ ′′ − ∆ψ) = 0.
Q
Seguindo os mesmos argumentos usados na obtenção de (3.14), resulta que
∂γ ∂ψ
∂ν ∂ν dΓdt = − ψ ′ (0) , γ 0 + ψ (0) , γ 1 .
Σ
59
Σ