Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Consideremos o problema não homogêneo
ψ
′′ − ∆ψ = 0 em Q,
⎧
⎨ ∂φ
sobre Σ0,
ψ = ∂ν
⎩
0 sobre (Σ − Σ0) ,
ψ(T ) = 0, ψ ′ (T ) = 0 em Ω.
(3.7)
Notemos que (3.7) é bem definido, pois, considerando a mudança de variável T − t em
lugar de t, o sistema (3.7), recai no caso estudado na Seção 2.3, visto que v = ∂φ
∂ν ∈ L2 (Σ)
(ver Teorema 2.7).
Para a solução ψ de (3.7), definamos a aplicação:
Λ φ 0 , φ 1 = {ψ ′ (0), −ψ(0)} . (3.8)
Λ está bem definida. De fato, para {φ 0 , φ 1 } em D (Ω)×D (Ω), obtemos a solução φ = φ (x, t)
de (3.6) com regularidade ∂φ
∂ν ∈ L2 (Σ). Assim podemos considerar o problema (3.7) e pelo,
Teorema (2.9), temos ψ(0) ∈ L 2 (Ω) e ψ ′ (0) ∈ H −1 (Ω) e .
• Terceiro Passo
obtemos
Multiplicando ambos os lados de (3.7) 1 pela solução φ de (3.6) e integrando em Q,
Q
ψ ′′
φdxdt −
Q
∆ψφdxdt = 0. (3.9)
Note que (ψ ′′ , φ) = (ψ ′ , φ) ′ − (ψ ′ , φ ′ ), então a primeira integral de (3.9) é igual a
Como
ψ
Q
′′ φdxdt = − 〈ψ ′ (0) , φ (0)〉 −
T
0
〈ψ ′ , φ ′ 〉 dt = − 〈ψ (0) , φ ′ (0)〉 −
então substituindo (3.11) em (3.10) , segue que
T
ψ
Q
′′ φdxdt = − ψ ′ (0) , φ 0 + ψ (0) , φ 1 −
58
0
〈ψ ′ , φ ′ 〉 dt. (3.10)
Q
ψφ ′′ dxdt, (3.11)
Q
ψφ ′′ dxdt. (3.12)