Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Em outras palavras, demostrar que todo estado inicial pode ser dirigido ao equilibrio, é
equivalente a demostrar que todo estado inicial pode ser dirigido a todo estado final. De fato,
consideremos o problema
z ′′ − ∆z = 0
z = 0
z (·, T ) = z
em Q,
sobre Σ,
0 , z ′ (·, T ) = z1 em Ω.
(3.4)
Logo pelos resultados na Seção 2.1, o problema tem uma única solução forte z. Seja m = y−z,
temos que y é solução de problema (3.1) se, e somente se, m é solução do seguinte sistema
m ′′ − ∆m = 0
m = 0
m (·, 0) = y
em Q,
sobre Σ,
0 − z (·, 0) , m ′ (·, 0) = y1 − z ′ (·, 0) em Ω.
(3.5)
Além disso, cumpre-se (3.3) se, e somente se, m (T ) = m ′ (T ) = 0. Portanto, como
y 0 − z (·, 0) e y 1 − z ′ (·, 0) estão em H, então existe um controle v ∈ L 2 (Σ0), tal que a
solução m = m (x, t, v) de (3.5) satisfaz m (T ) = m ′ (T ) = 0. Logo a solução y = y (x, t, v)
de (3.1) satisfaz a condição (3.3) .
2. Descrição do HUM
• Primeiro Passo
Dados {φ 0 , φ 1 } ∈ D (Ω) × D (Ω), consideremos o problema
φ
′′ − ∆φ = 0 em Q,
φ = 0 sobre Σ,
φ (·, 0) = φ 0 , φ ′ (·, 0) = φ 1 em Ω.
(3.6)
Pelos resultados na Seção 2.1, podemos concluir que (3.6) tem única solução forte
φ = φ (x, t).
• Segundo Passo
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