Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Consideremos o sistema
⎧
y
⎪⎨
⎪⎩
′′ − ∆y = 0 em Q,
⎧
⎨ v sobre Σ0 = Γ0 × (0, T ) ,
y =
⎩ 0 sobre Σ − Σ0,
y(·, 0) = y 0 , y ′ (·, 0) = y 1 em Ω,
onde Γ0 é uma parte de Γ, com medida positiva tal que Γ0 ∩ (Γ − Γ0) = ∅.
(3.1)
Observação 3.1 Tendo em conta que o sistema pode ser controlado na fronteira, é razoável
tentar resolver o problema quando o controle atua somente sobre uma parte desta. Esse
problema, além de mais interessante, permite minimizar um certo custo que surge de maneira
natural. Dessa forma, consideraremos o caso em que o controle atua únicamente sobre o
subconjunto Σ0 de Σ. Portanto trata-se de um problema de controlabilidade exata na fronteira
com controle localizado.
1. Formulação do Problema
O problema de controlabilidade exata pode ser formulado como segue: Dado T > 0
suficientemente grande, achar um espaço de Hilbert H tal que para todo par de dados
iniciais {y 0 , y 1 } em H, exista um controle v ∈ L 2 (Σ0), tal que a solução y = y (x, t, v)
de (3.1) cumpre a condição do equilíbrio:
y(x, T, v) = 0 e y ′ (x, T, v) = 0. (3.2)
Observação 3.2 Como a velocidade de propagação das ondas é finita (em nosso caso igual
a 1), para que se tenha controlabilidade, o tempo T haverá ser suficientemente grande.
Observação 3.3 Devido à linearidade e reversibilidade da equação da onda, o problema de
controlabilidade exata na fronteira pode ser formulado como: Dado T > 0 suficientemente
grande, achar um espaço de Hilbert H tal que para todo par de dados {y 0 , y 1 } e {z 0 , z 1 }
em H, exista um controle v ∈ L 2 (Σ0), tal que a solução y = y (x, t, v) de (3.1) satisfaz a
condição:
y(x, T, v) = z 0
e y ′ (x, T, v) = z 1 . (3.3)
56