Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Notemos que (2.170) e (2.171) são válidos para toda solução ultra fraca de (2.119) .
Consideremos (zm) a sequência de soluções fracas nas condições da etapa anterior. Logo
zm − z é solução ultra fraca de (2.119) e por (2.171) , temos
z ′ m − z ′ z 0
L∞ (0,T ;H−1 (Ω)) ≤ C m − z 0
+ z1 m − z 1 H−1 + vm − v (Ω) L2 (Σ)
Dessa forma, fazendo m → ∞, concluimos que
z ′ m → z ′ forte em L ∞ 0, T ; H −1 (Ω) . (2.172)
Como zm é também solução fraca, então z ′ m ∈ C 0 ([0, T ] ; H −1 (Ω)), por (2.172), segue
e, portanto, temos provado o resultado.
z ′ ∈ C 0 [0, T ] ; H −1 (Ω)
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