Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Seja wm ∈ H 2 0 (0, T ; H 2 (Ω)) tal que wm = vm em Σ. Para cada m ∈ N, consideremos o
problema misto não homogêneo
z ′′ m − ∆zm = 0
zm(0) = z
em Q,
0 m z ′ m(0) = z1 m. em Ω.
zm = vm sobre Σ,
Pelo Lema 2.4, segue que a solução ultra fraca zm de (2.167) pertence à classe
(2.167)
zm ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) . (2.168)
Sendo z solução ultra fraca de (2.119) , com dados {z 0 , z 1 , v} ∈ L 2 (Ω) × H −1 (Ω) × L 2 (Σ),
então zm − z é também solução ultra fraca de (2.119) com dados z 0 m − z 0 , z 1 m − z 1 e vm − v.
Da estimativa (2.136) , temos
z 0
zm − zL∞ (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C m − z 0
+ z1 m − z 1 H−1 + vm − v (Ω) L2 (Σ)
Fazendo m → ∞ na última desigualdade e usando (2.166) obtemos
zm → z forte em L ∞ 0, T ; L 2 (Ω) .
Como zm ∈ C 0 ([0, T ] ; L 2 (Ω)) então z ∈ C 0 ([0, T ] ; L 2 (Ω)) .
• Segunda Etapa (Regularidade para z ′ )
De (2.150) e o Lema 2.6, obtemos
|〈z ′ , f〉| ≤ C
z 0 + z 1 H −1 (Ω) + v L 2 (Σ)
.
fL1 (0,T ;H1 0 (Ω))
. (2.169)
Como W 1,1
0 (0, T ; H 1 0 (Ω)) é denso em L 1 (0, T ; H 1 0 (Ω)), segue que a desigualdade (2.169) é
verdadeira para todo f ∈ L 1 (0, T ; H 1 0 (Ω)). Logo
e
z ′ ∈ L ∞ 0, T ; H −1 (Ω)
z ′ z 0
L∞ (0,T ;H−1 (Ω)) ≤ C
+ z1
H−1 + v (Ω) L2 (Σ)
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(2.170)
. (2.171)