Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Sabemos que:
1
2
Q
∂hk
∂xk
|θ ′ | 2 − |∇θ| 2
dxdt = 1
2
Q
∂hk 2 2 2
|∆w| + 2f∆w + |f| − |∇θ| dxdt. (2.162)
∂xk
Substituindo (2.161) e (2.162) em (2.157) temos
2
1 ∂θ
dΓdt = − w
2 Σ ∂v
′ ∂w
(0) , hk
′
(0)
+
∂xk
1
∂hk
|∆w|
2 Q ∂xk
2 dxdt
− 1
∂hk
|∇w
2 ∂xk
′ | 2
∂f
∂hk ∂w
dxdt − hk∆wdxdt +
∂xk
∂xj
′ ∂w
∂xk
′
dxdt.
∂xj
Q
Q
Q
(2.163)
Aplicando a estimativa (2.155) ao lado direito de (2.163) e observando que hk ∈ C 1 Ω ,
1 ≤ k ≤ n, obtemos
Σ
2 ∂θ
dΓdt ≤ C fL1 ∂ν
(0,T ;H1 0 (Ω))
De (2.156) e (2.164) segue a prova do lema.
(2.164)
Teorema 2.9 (Regularidade da Solução Ultra Fraca ) A solução ultra fraca z de
(2.119) pertence à classe
z ∈ C 0 [0, T ] ; L 2 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; H −1 (Ω) . (2.165)
Além disso, existe uma constante C > 0 tal que
zL∞ (0,T ;L2 (Ω)) + z ′ z 0
L∞ (0,T ;H−1 (Ω)) ≤ C
+ z1
H−1 + v (Ω) L2 (Σ)
Prova: Dividiremos a prova em duas etapas.
• Primeira Etapa (Regularidade para z)
Dados z0 ∈ L2 (Ω), z1 ∈ H−1 (Ω) e v ∈ L2 (Σ), existem sequências (z0 m) m∈N , (z1 m) m∈N e
(vm) m∈N em H1 0(Ω), L2 (Ω) e H2
0 0, T ; H 3
2 (Γ) respectivamente, tais que:
z
0 m → z0 forte em L2 (Ω),
vm → v forte em L2 (Σ).
z 1 m → z 1 forte em H −1 (Ω),
52
.
(2.166)