Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

para f ∈ W 1,1
0 (0, T ; H 1 0 (Ω)) . Segue do Teorema da regularidade da solução forte (Teorema
2.3) que
e
w ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; H 1 0 (Ω)
(2.154)
w ′ L∞ (0,T ;H1 0 (Ω)) + wL∞ (0,T ;H1 0 (Ω)∩H2 (Ω)) ≤ C fL1 (0,T ;H1 0 (Ω)) . (2.155)
Seja w ′ = θ, então θ é solução do sistema (2.151) porque θ verifica a equação (2.151) 1 ,
θ (T ) = w ′ (T ) = 0 e θ ′ (T ) = w ′′ (T ) = ∆w (T ) = 0 porque f ∈ W 1,1
0 (0, T ; H 1 0 (Ω)) .
Portanto |θ ′ (0)| + θ (0) = |w ′′ (0)| + w ′ (0) = |∆w (0)| + w ′ (0) . Segue de (2.155) que
|θ ′ (0)| + θ (0) ≤ C fL1 (0,T ;H1 0 (Ω))
. (2.156)
Assim, para obter a desigualdade (2.152) é suficiente estimar
∂θ
∂v L2 por f (Σ) L1 (0,T ;H1 0 (Ω)) .
Para isto, reescrevamos a identidade (2.88) para θ solução de (2.151) e qk = hk. Assim:
2
1 ∂θ
∂θ (0)
dΓdt = − θ (0) , hk +
2 Σ ∂v
∂xk
1
∂hk
′ 2 2
|θ | + |∇θ|
2 Q ∂xk
dxdt
(2.157)
∂hk ∂θ ∂θ
∂θ
+
dxdt − fhk dxdt.
∂xj ∂xk ∂xj
∂xk
Q
Q
Como hk ∂θ
∂xk ∈ L∞ (0, T ; L 2 (Ω)), segue que hk ∂θ′
∂xk ∈ W −1,∞ (0, T ; L 2 (Ω)) . Então
−
f
Q
′ hk
∂θ
dxdt =
∂xk
Sendo f ∈ H 1 0 (Ω) e θ ′ = w ′′ = ∆w + f temos
∂θ
fhk
Q
′
dxdt = −
∂xk
∂f
− hkfdxdt −
∂xk
Q
Temos ainda que
−
Q
∂f
∂xk
Q
Q
Q
∂θ
fhk
′
dxdt. (2.158)
∂xk
∂
(fhk) θ
∂xk
′
∂f
dxdt = − hk∆wdxdt
Q ∂xk
∂hk
∂hk
f∆wdxdt − f
∂xk
∂xk
2dxdt. hkfdxdt = − 1
2 Q
hk
∂f 2
∂xk
Q
dxdt = 1
2
Substituindo (2.160) em (2.159) e o resultado em (2.158), segue
− f ′
∂θ
hk dxdt = −
∂xk
∂f
hk∆wdxdt −
∂xk
∂hk
f∆wdxdt −
∂xk
1
2
Q
Q
51
Q
Q
(2.159)
∂hk
f
∂xk
2 dxdt. (2.160)
Q
∂hk
f
∂xk
2 dxdt. (2.161)