Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Assim, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos de (2.147) que
para toda solução fraca z de (2.119) .
z ′ W −1,∞ (0,T ;L 2 (Ω)) ≤ z L ∞ (0,T ;L 2 (Ω)),
(2.148)
Lema 2.5 Seja z solução ultra fraca do problema (2.119) , então z ′ ∈ W −1,∞ (0, T ; L 2 (Ω)) .
Prova: Se z é solução ultra fraca temos z ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). Em particular, z ∈
L 2 (0, T ; L 2 (Ω)) que implica z ′ ∈ H −1 (0, T ; L 2 (Ω)) . Consideremos f em W 1,1
0 (0, T ; L 2 (Ω))
e a sequência (fm) m∈N de funções fm ∈ H 1 0 (0, T ; L 2 (Ω)) tal que
fm → f forte em W 1,1 2
0 0, T ; L (Ω) . (2.149)
Temos por (2.147) e (2.148) para fm em lugar de f e tomando limite quando m → ∞, que
z ′ ∈ W −1,∞ (0, T ; L 2 (Ω)) .
Consideremos f ∈ W 1,1
0 (0, T ; H 1 0 (Ω)) .De (2.147) e a definição de solução ultra fraca,
(Definição 2.2), segue que
〈z ′
, f〉 = −
zf
Q
′ dxdt = z 0 , θ ′ (0) − z 1 , θ (0) +
para toda solução θ do problema
θ ′′ − ∆θ = f ′ θ = 0
θ (T ) = 0, θ
em Q,
sobre Σ,
′ (T ) = 0 em Ω.
Σ
∂θ
vdΓdt, (2.150)
∂ν
Lema 2.6 Seja θ a solução do (2.151), então existe uma constante C > 0 tal que
|θ ′
(0)| + θ (0) +
∂θ
∂ν
para todo, f ∈ W 1,1
0 (0, T ; H 1 0 (Ω)).
L 2 (Σ)
Prova: Consideremos o problema
w ′′ − ∆w = f
w = 0
w (T ) = 0, w
em Q,
sobre Σ,
′ (T ) = 0 em Ω.
50
(2.151)
≤ C fL1 (0,T ;H1 0 (Ω))
, (2.152)
(2.153)