Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

e ⎧⎪ θ
⎨
⎪⎩
′′ − △θ = f em Q,
θ = 0
θ (T ) = 0, θ
sobre Σ,
′ (T ) = 0 em Ω.
(2.142)
Pela regularidade de fm e f, segue que existe solução forte θm de (2.141) e solução fraca θ
de (2.142) . Além disso,
θm ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; H 1 0(Ω) . (2.143)
Assim θm −θ é solução fraca de (2.142) . Então mudando t por T −t, temos pela desigualdade
de energia (2.5) e a Regularidade Escondida (Teorema 2.7) que
|θ ′ m (T − t) − θ ′ (T − t)| 2 + θm (T − t) − θ (T − t) 2 +
≤ C fm − f L 1 ((0,T );L 2 (Ω)) ,
∂θm
∂ν
∂θ
−
∂ν
2
L 2 (Σ)
(2.144)
para todo 0 ≤ t ≤ T. Tomando t = T e fazendo m → ∞, obtemos da última desigualdade
que
θm (0) → θ (0) em H1 θ
0(Ω),
′ m (0) → θ ′ (0) em L2 ∂θm ∂θ
→
∂ν ∂ν
em
(Ω),
L2 (Σ).
(2.145)
Sendo z uma função na classe (2.138) , faz sentido 〈z ′′ (t) , θm (t)〉 , 〈−∆z (t) , θm (t)〉 ,
dualidades entre H −1 (Ω) e H 1 0(Ω). Então, pelos mesmos argumento usados para obter (2.124),
temos
zfmdxdt = −
Q
z 0 , θ ′ m (0) + 〈z ′ , θm(0)〉 −
Σ
∂θm
νdΓdt. (2.146)
∂ν
Tomando o limite em (2.146) , quando m → ∞, e observando as convergências (2.145) , segue
que z é solução ultra fraca do problema (2.119) , como queríamos mostrar.
Observação 2.1 Notemos que, para todo f ∈ W 1,1
0 (0, T ; L 2 (Ω)) temos
〈z ′ T
, f〉 = −
0
(z, f ′ ) dt. (2.147)
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