Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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. vi Aos meus dois anjos: Maria Winnies, minha adorável mãe e Bertolt Camilo, meu amado esposo.
Resumo Estudamos os problemas de controlabilidade exata e aproximada na fronteira e interna para um sistema associado à equação da onda linear com condição de contorno tipo Dirichlet. Com este fim, analisamos detalhadamente a existência, unicidade e regularidade de solução para o sistema. No estudo da controlabilidade exata, usamos, essencialmente, o Método de Unicidade Hilbertiana (HUM) e, por meio de métodos variacionais, mostramos que a controlabilidade pode ser reduzida a um problema de minimização. No caso da controlabilidade aproximada, abordamos o problema de minimização, fazendo uso do método de dualidade no sentido de Fenchel, encontrando, de forma natural, o funcional que nos fornece o controle de norma mínima. vii
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Page 3 and 4: Ficha Catalográfica MURILLO, Kelly
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Page 35 and 36: Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solu
Page 37 and 38: Prova: A solução forte φ é o li
Page 39 and 40: Como {wi} i é uma base ortonormal
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onde 〈·, ·〉 representa difere
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Prova: Seja w ∈ H 2 0 (0, T ; H 2
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Assim, pela desigualdade de Cauchy-
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Sabemos que: 1 2 Q ∂hk ∂xk |
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Notemos que (2.170) e (2.171) são
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Consideremos o sistema ⎧ y ⎪⎨
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Consideremos o problema não homog
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Dessa forma, temos por (3.8) que
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Lema 3.1 Seja φ a solução de (3.
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Pela desigualdade inversa (3.21) te
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3.1.2 Controlabilidade Exata Intern
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Por outra parte, como ψ = 0 e φ =
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Por (i) e (ii) concluimos a equival
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Da desigualdade direta (3.46) obtem
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outro controle tal que para dados i
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(ii) Para ε > 0, o problema (3.57)
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podemos reescrever (3.61) por inf
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Seja ρ0 j, ρ1 j (3.62) tal que
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Logo para qualquer {ρ 0 , ρ 1 }
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Consideremos o operador linear e co
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Para cada n ∈ N, seja ρn a solu
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de (3.30) satisfaz (3.72) . Além d
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(iii) para cada compacto K de G exi
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Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣
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Apêndice B Desigualdades de Observ
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onde E (t) é a energia definida em
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B.2 Observabilidade para o Controle
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Mostremos que, dado ε > 0 tal que
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Multiplicando ambos lados de (3.32)
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φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
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[11] KALMAN, R. E., Optimization, M
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[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex
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