Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Prova: Seja w ∈ H 2 0 (0, T ; H 2 (Ω)) tal que w = v sobre Σ. A existência de w é garantida
pelo Teorema do Traço. Observe que w ′′ e ∆w são objetos de L 2 (0, T ; L 2 (Ω)).
Consideremos o problema misto
u ′′ − ∆u = −w ′′ + ∆w
u = 0
em Q,
sobre Σ,
u(0) = z 0 , u ′ (0) = z 1 em Ω.
(2.139)
Desde que −w ′′ + ∆w ∈ L 2 (0, T ; L 2 (Ω)), z 0 ∈ H 1 0(Ω) e z 1 ∈ L 2 (Ω), segue do Teorema (2.4)
que (2.139) tem uma úcica solução fraca u. Além disso, pelo Teorema 2.6, a solução u
pertence à classe
Por definição da solução fraca, u satisfaz
u ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω ) ∩ C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) .
d
dt (u′ (t), ψ) + ((u(t), ψ)) = (−w ′′ + ∆w, ψ) , em D ′ (0, T ), ∀ψ ∈ H 1 0(Ω).
Então z = u + w satisfaz
d
dt (z′ , ψ) + ((z, ψ)) = 0 em D ′ (0, T ), ∀ψ ∈ H 1 0(Ω).
Além disso, z = v sobre Σ, z (0) = z 0 e z ′ (0) = z 1 em Ω. Portanto z ∈ C 0 ([0, T ] ; H 1 (Ω)) ∩
C 1 ([0, T ] ; L 2 (Ω)) é a única solução fraca do problema (2.119).
Provaremos agora que z é também solução ultra fraca de (2.119). De fato, seja
f ∈ L 1 ((0, T ) ; L 2 (Ω)) e consideremos a sequência (fm) m∈N com fm ∈ L 1 ((0, T ) ; H 1 0(Ω))
tal que
Consideremos os seguintes problemas:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
fm → f forte em L 1 (0, T ) ; L 2 (Ω) . (2.140)
θ ′′ m − △θm = fm em Q,
θm = 0 sobre Σ,
θm (T ) = 0, θ ′ m (T ) = 0 em Ω
48
(2.141)