Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Portanto, o funcional S é uma forma linear e contínua, isto é, S ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). Além
disso
z 0
SL∞ (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C
+ z1
H−1 + v (Ω) L2 (Σ)
. (2.134)
Definição 2.2 Para {z 0 , z 1 , v} ∈ L 2 (Ω)×H −1 (Ω)×L 2 (Σ), dizemos que z ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω))
é solução ultra fraca (ou solução por transposição) de (2.119) se satisfaz a identidade
Q
zfdxdt = − z 0 , θ ′ (0) + z 1 , θ(0)
−
para toda f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), com θ solução do problema (2.126).
Σ
∂θ
v∂Γdt, (2.135)
∂ν
Teorema 2.8 (Existência e Unicidade) Existe somente uma solução ultra fraca z do
problema misto não homogêneo (2.119) . Além disso, existe uma constante C = C (T ) > 0
tal que
z 0
zL∞ (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C
+ z1
H−1 + v (Ω) L2 (Σ)
. (2.136)
Prova: A existência da solução ultra fraca é uma consequência de (2.132), (2.133) e o
Teorema da representação de Riesz (Teorema 1.10), para funções de L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). A
unicidade é uma consequência de Lema de Du Bois Raymond (Lema 1.4).
A desigualdade (2.136) , segue de (2.134) .
Provaremos agora alguns resultados essenciais para obtermos a regularidade da solução
ultra fraca.
Lema 2.4 Consideremos o sistema (2.119) com dados regulares, ou seja, quando
z 0 ∈ H 1 0(Ω), z 1 ∈ L 2 (Ω) e v ∈ H 2 0
Logo existe uma única solução fraca z de (2.119) na classe
0, T ; H 3
2 (Γ) . (2.137)
z ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 (Ω ) ∩ C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) . (2.138)
Além disso, z é uma solução ultra fraca de (2.119).
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