Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde 〈·, ·〉 representa diferentes pares de dualidade.
A definição de solução ultra fraca será dada como sendo um funcional definido pela
expresão (2.125). Para isso, é natural escolher θ = θ(x, t) como a solução do seguinte
problema: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
θ ′′ − ∆θ = f em Q,
θ = 0 sobre Σ,
θ (T ) = 0, θ ′ (T ) = 0 em Ω.
(2.126)
Tomando f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e considerando a mudança de variável T − t por t, o sistema
(2.126) é um caso particular do problema estudado na Seção 2.2 (solução fraca). Portanto
do Corolário 2.2 e dos Teoremas 2.7 e 2.6, podemos concluir que
θ ′ (t)L∞ (0,T ;L2 (Ω)) + ||θ(t)|| L∞ (0,T ;H1 0 (Ω)) ≤ C fL1 (0,T ;L2 (Ω)) , (2.127)
e
∂θ
∂ν
θ ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω ) ∩ C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) , (2.128)
∂θ
∂ν ∈ L2 (Σ) (2.129)
≤ C fL1 (0,T ;L2 (Ω)) . (2.130)
L2 (Σ)
Como uma consequência de (2.128) temos θ ′ (0) ∈ L 2 (Ω), θ(0) ∈ H 1 0(Ω) e ∂θ
∂ν ∈ L2 (Σ). Logo
para que o lado direito de (2.125) faça sentido, é suficiente escolher,
z 0 ∈ L 2 (Ω), z 1 ∈ H −1 (Ω) e v ∈ L 2 (Σ). (2.131)
Assim, observando a expressão (2.125) , podemos definir o funcional S : L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) → R
por:
〈S, f〉 = − z 0 , θ ′ (0) + z 1 , θ(0)
−
para toda solução θ do problema (2.126).
Das estimativas (2.127) e (2.130), segue de (2.132) que
|〈S, f〉| ≤ |z0 | |θ ′ (0)| + z1
H−1 (Ω) θ(0) +
∂θ
∂ν
≤ C
.
|z 0 | + z 1 H −1 (Ω) + v L 2 (Σ) f L 1 (0,T ;L 2 (Ω))
46
Σ
∂θ
v∂Γdt, (2.132)
∂ν
L 2 (Σ)
v L 2 (Σ)
(2.133)