Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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onde 〈·, ·〉 representa diferentes pares de duali<strong>da</strong>de.<br />
A definição de solução ultra fraca será <strong>da</strong><strong>da</strong> como sendo um funcional definido pela<br />
expresão (2.125). Para isso, é natural escolher θ = θ(x, t) como a solução do seguinte<br />
problema: ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
θ ′′ − ∆θ = f em Q,<br />
θ = 0 sobre Σ,<br />
θ (T ) = 0, θ ′ (T ) = 0 em Ω.<br />
(2.126)<br />
Tomando f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) e considerando a mu<strong>da</strong>nça de variável T − t por t, o sistema<br />
(2.126) é um caso particular do problema estu<strong>da</strong>do na Seção 2.2 (solução fraca). Portanto<br />
do Corolário 2.2 e dos Teoremas 2.7 e 2.6, podemos concluir que<br />
θ ′ (t)L∞ (0,T ;L2 (Ω)) + ||θ(t)|| L∞ (0,T ;H1 0 (Ω)) ≤ C fL1 (0,T ;L2 (Ω)) , (2.127)<br />
e <br />
∂θ <br />
<br />
∂ν<br />
θ ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω ) ∩ C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) , (2.128)<br />
∂θ<br />
∂ν ∈ L2 (Σ) (2.129)<br />
≤ C fL1 (0,T ;L2 (Ω)) . (2.130)<br />
L2 (Σ)<br />
Como uma consequência de (2.128) temos θ ′ (0) ∈ L 2 (Ω), θ(0) ∈ H 1 0(Ω) e ∂θ<br />
∂ν ∈ L2 (Σ). Logo<br />
para que o lado direito de (2.125) faça sentido, é suficiente escolher,<br />
z 0 ∈ L 2 (Ω), z 1 ∈ H −1 (Ω) e v ∈ L 2 (Σ). (2.131)<br />
Assim, observando a expressão (2.125) , podemos definir o funcional S : L 1 (0, T ; L 2 (Ω)) → R<br />
por:<br />
〈S, f〉 = − z 0 , θ ′ (0) + z 1 , θ(0) <br />
−<br />
para to<strong>da</strong> solução θ do problema (2.126).<br />
Das estimativas (2.127) e (2.130), segue de (2.132) que<br />
|〈S, f〉| ≤ |z0 | |θ ′ (0)| + z1 <br />
<br />
H−1 (Ω) θ(0) + <br />
∂θ <br />
<br />
∂ν<br />
<br />
≤ C<br />
.<br />
<br />
|z 0 | + z 1 H −1 (Ω) + v L 2 (Σ) f L 1 (0,T ;L 2 (Ω))<br />
46<br />
Σ<br />
∂θ<br />
v∂Γdt, (2.132)<br />
∂ν<br />
L 2 (Σ)<br />
v L 2 (Σ)<br />
(2.133)