Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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quando os <strong>da</strong>dos iniciais z 0 e z 1 são menos regulares que os considerados na Seção 2.2. Por<br />
esta razão, a solução será denomina<strong>da</strong> de solução ultra fraca. Primeiramente definiremos o<br />
conceito de solução para (2.119) por meio do Método <strong>da</strong> Transposição (ver [21]). Devido ao<br />
método utilizado, a solução é também conheci<strong>da</strong> como solução por transposição.<br />
Multiplicando ambos os lados de (2.119) 1 por uma função θ = θ(x, t), x ∈ Ω, t ∈ (0, T )<br />
e integrando formalmente em Q, obtemos<br />
T <br />
z ′′ T <br />
θdxdt −<br />
Usando integração por partes em t, temos<br />
<br />
θ(x, T )z ′ <br />
(x, T )dx − θ(x, 0)z ′ <br />
(x, 0)dx −<br />
Ω<br />
<br />
+<br />
Ω<br />
z(x, 0)θ ′ T <br />
(x, 0)dx +<br />
0<br />
Ω<br />
Ω<br />
0<br />
Ω<br />
0<br />
Ω<br />
zθ ′′ T <br />
dxdt −<br />
∆zθdxdt = 0. (2.120)<br />
0<br />
Ω<br />
Ω<br />
z(x, T )θ ′ (x, T )dx<br />
∆zθdxdt = 0.<br />
(2.121)<br />
Notemos que aplicando o Teorema de Green (Teorema 1.9) obtemos que<br />
T <br />
−<br />
T <br />
∆zθdxdt = −<br />
T <br />
z∆θdxdt + z ∂θ<br />
T <br />
dΓdt − θ<br />
∂ν ∂z<br />
dΓdt.<br />
∂ν<br />
(2.122)<br />
0<br />
Ω<br />
Substituindo (2.122) em (2.121) segue que<br />
T <br />
0<br />
Ω<br />
0<br />
Ω<br />
z(θ ′′ <br />
− ∆θ)dxdt +<br />
Ω<br />
z ′ <br />
(x, T )θ(x, T )dx −<br />
0<br />
Γ<br />
Ω<br />
0<br />
Γ<br />
z ′ (x, 0)θ(x, 0)dx<br />
<br />
− z(x, T )θ<br />
Ω<br />
′ <br />
(x, T )dx + z(x, 0)θ<br />
Ω<br />
′ T <br />
(x, 0)dx − θ<br />
0 Γ<br />
∂z<br />
∂ν dΓdt<br />
T <br />
+ z ∂θ<br />
dΓdt = 0.<br />
∂ν<br />
0<br />
Γ<br />
(2.123)<br />
Como não temos informação sobre z(x, T ), z ′ (x, T ) e ∂z , então escolhamos θ = θ(x, t) tal que<br />
∂v<br />
θ(x, T ) = θ ′ (x, T ) = 0 e θ(x, t) = 0 sobre Σ. Assim obtemos<br />
T <br />
z(θ<br />
0 Ω<br />
′′ <br />
− ∆θ)dxdt − z<br />
Ω<br />
′ <br />
(x, 0)θ(x, 0)dx + z(x, 0)θ<br />
Ω<br />
′ T <br />
(x, 0)dx + z<br />
0 Γ<br />
∂θ<br />
dΓdt = 0.<br />
∂ν<br />
(2.124)<br />
Logo<br />
〈z, θ ′′ − ∆θ〉 = z 0 , θ ′ (0) + z 1 , θ(0) −<br />
45<br />
<br />
∂θ<br />
, z , (2.125)<br />
∂ν