Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

quando os dados iniciais z 0 e z 1 são menos regulares que os considerados na Seção 2.2. Por
esta razão, a solução será denominada de solução ultra fraca. Primeiramente definiremos o
conceito de solução para (2.119) por meio do Método da Transposição (ver [21]). Devido ao
método utilizado, a solução é também conhecida como solução por transposição.
Multiplicando ambos os lados de (2.119) 1 por uma função θ = θ(x, t), x ∈ Ω, t ∈ (0, T )
e integrando formalmente em Q, obtemos
T
z ′′ T
θdxdt −
Usando integração por partes em t, temos
θ(x, T )z ′
(x, T )dx − θ(x, 0)z ′
(x, 0)dx −
Ω
+
Ω
z(x, 0)θ ′ T
(x, 0)dx +
0
Ω
Ω
0
Ω
0
Ω
zθ ′′ T
dxdt −
∆zθdxdt = 0. (2.120)
0
Ω
Ω
z(x, T )θ ′ (x, T )dx
∆zθdxdt = 0.
(2.121)
Notemos que aplicando o Teorema de Green (Teorema 1.9) obtemos que
T
−
T
∆zθdxdt = −
T
z∆θdxdt + z ∂θ
T
dΓdt − θ
∂ν ∂z
dΓdt.
∂ν
(2.122)
0
Ω
Substituindo (2.122) em (2.121) segue que
T
0
Ω
0
Ω
z(θ ′′
− ∆θ)dxdt +
Ω
z ′
(x, T )θ(x, T )dx −
0
Γ
Ω
0
Γ
z ′ (x, 0)θ(x, 0)dx
− z(x, T )θ
Ω
′
(x, T )dx + z(x, 0)θ
Ω
′ T
(x, 0)dx − θ
0 Γ
∂z
∂ν dΓdt
T
+ z ∂θ
dΓdt = 0.
∂ν
0
Γ
(2.123)
Como não temos informação sobre z(x, T ), z ′ (x, T ) e ∂z , então escolhamos θ = θ(x, t) tal que
∂v
θ(x, T ) = θ ′ (x, T ) = 0 e θ(x, t) = 0 sobre Σ. Assim obtemos
T
z(θ
0 Ω
′′
− ∆θ)dxdt − z
Ω
′
(x, 0)θ(x, 0)dx + z(x, 0)θ
Ω
′ T
(x, 0)dx + z
0 Γ
∂θ
dΓdt = 0.
∂ν
(2.124)
Logo
〈z, θ ′′ − ∆θ〉 = z 0 , θ ′ (0) + z 1 , θ(0) −
45
∂θ
, z , (2.125)
∂ν