Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Sendo w ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω)) solução do problema −∆w = f, onde fm → f forte
em L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), e observando que −∆wm = fm, então ϕ = w.
Da continuidade do operador traço γ1, temos
γ1 (wm) → γ1 (w) fraco em L 2
0, T ; H 1
2 (Γ) . (2.115)
Por (2.110) 2 , como φ ′ m → φ ′ fraco L 2 (Q), obtemos por um argumento similar, uma
subsequência de (zm) m∈N , ainda denotada com o índice m, tal que
e, assim,
γ1 (zm) → γ1 (z) fraco em L 2
0, T ; H 1
2 (Γ)
[γ1 (zm)] ′ → [γ1 (z)] ′ fraco em H −1
0, T ; H 1
2 (Γ) , (2.116)
onde z ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω)) é a única solução de −∆z = φ ′ . Como ∆φ = f − φ ′′ em
D ′ (0, T ; H −1 (Ω)), então φ = −w − z ′ e
γ1 (φ) = −γ1 (w) − γ1 (z ′ ) em H −1
0, T ; H 1
2 (Γ) . (2.117)
Dessa forma, de acordo com (2.114) − (2.117), obtemos
γ1 (φm) = −γ1 (wm) − [γ1 (zm)] ′ → −γ1 (w) − [γ1 (z)] ′ = γ1 (φ) em H −1
0, T ; H 1
2 (Γ) .
(2.118)
De (2.107) , (2.118) e a unicidade do limite, concluímos que χ = ∂φ
, o que mostra o resultado.
∂ν
2.3 Solução Ultra Fraca
O objetivo desta seção é estudar a existência, unicidade e regularidade de solução para
o seguinte problema de valor na fronteira não homogêneo
⎧
⎪⎨
z
⎪⎩
′′ − △z = 0 em Q,
z = v sobre Σ,
z (0) = z 0 , z ′ (0) = z 1 em Ω,
44
(2.119)