Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Sendo fm ∈ C 0 [0, T ] ; C 1 Ω e φ ′ m ∈ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)), então por resultado de regularização
elíptica (Teorema 1.13), existem zm, wm ∈ L2 (0, T ; H1 0(Ω) ∩ H2 (Ω)), tais que
−∆wm = fm e wm
L2 (0,T ;H1 0 (Ω)∩H
2 (Ω)) ≤ C |fm| L2 (Q) ,
−∆zm = φ ′ m e zmL2 (0,T ;H1 0 (Ω)∩H2 (Ω)) ≤ C |φ′ m| L2 (Q) .
Substituindo (2.110) em (2.109), temos
(2.110)
−∆φm = −∆wm − (−∆zm) ′ em D ′ 0, T ; H −1 (Ω) . (2.111)
Multiplicando ambos os lados de (2.111) por θ ∈ D(0, T ) e, em seguida, integrando de 0 a
T , resulta
ou seja,
T
T T
− ∆φmθdt = − ∆wmθdt −
0
0
T
T T
− ∆φmθdt = − ∆wmθdt −
0
0
0
0
0
(−∆zm) ′ θdt em H −1 (Ω),
∆zmθ ′ dt em H −1 (Ω). (2.112)
Como ∆ ∈ L (H1 0(Ω), H−1 (Ω)) , temos
T T T
−∆ φmθdt = −∆ wmθdt + zmθ
0
0
′
dt
e, pela unicidade do problema de Dirichlet (Teorema 1.13), obtemos
T T T
φmθdt = wmθdt +
isto é,
0
0
0
zmθ ′ dt em H −1 (Ω), ∀θ ∈ D(0, T ),
φm = wm − z ′ m em D ′ 0, T ; H −1 (Ω) . (2.113)
Como zm ∈ L2 (0, T ; H2 (Ω)) , então z ′ m ∈ H−1 (0, T ; H2 (Ω)) e γ1 (z ′ m) ∈ H−1
0, T ; H 1
2 (Γ) .
Portanto, sendo [γ1 (zm)] ′ = γ1 (z ′ m), temos,
γ1 (φm) = γ1 (wm) − [γ1 (zm)] ′ em H −1
0, T ; H 1
2 (Γ) . (2.114)
Como (fm) m∈N é limitada em L 2 (Q) , segue por (2.110) 1 que wm L 2 (0,T ;H 2 (Ω)) é limitada.
Logo existe uma subsequência (wm) m∈N , ainda denotada por (wm) m∈N , tal que
wm → ϕ fraco em L 2 0, T ; H 2 (Ω) .
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