Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde Em (t) é a energia associada a φm, ou seja,
Temos ainda que
Q
Em (t) = 1
|φ
2 Ω
′ m (t)| 2 + |∇φm (t)| 2
dx.
1 ∂hk
2
Q ∂xk
∂hk ∂φm ∂φm
dxdt
∂xi ∂xi ∂xi
e, como fm ∈ C 0 [0, T ] ; C 1 Ω , obtemos
Q fmhk
|φ ′ | 2 − |▽φ| 2
dxdt
≤ CEm (t) , (2.102)
∂φm
dxdt
≤ C
∂xk
≤ C
|∇φm|
Ω
2 dxdt ≤ CEm (t) (2.103)
n
k=1
Ω
∂φm
Das desigualdades (2.100) − (2.104) , deduzimos que
1
2 Σ
∂xk
2
dx ≤ CEm (t) . (2.104)
2 ∂φm
dΓdt ≤ CEm (t) (2.105)
∂ν
e, pelo Teorema 2.5, concluimos que
2 T
1 ∂φm
dΓdt ≤ C E0m + |fm (s)| ds ,
2 Σ ∂ν
0
(2.106)
onde E0m = Em (0) = 1
|φ 2 Ω
1 m| 2 + |∇φ0 m| 2
é uma sequência limitada
dx. Logo ∂φm
∂ν m∈N
em L 2 (Σ), portanto existe uma subsequência, representada da mesma forma, tal que
e
∂φm
∂ν → χ fraco − ∗ em L2 (Σ) (2.107)
∂φm
|χ| L2 (Σ) ≤ lim
∂ν
L 2 (Σ)
. (2.108)
Dessa forma, por (2.55), (2.105) e (2.108), para concluir a demonstração do teorema, resta-
nos mostrar que χ = ∂φ
. De fato, iniciemos observando que
∂ν
−∆φm = fm − φ ′′ m em D ′ 0, T ; H −1 (Ω) . (2.109)
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