Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

e a segunda integral do mesmo lado é
1
2
Logo (2.96) torna-se
qk |∇φm|
Σ
2 νkdΓdt = 1
2
∂φm
− ∆φmqk dxdt = −
Q ∂xk
1
2
− 1
∂qk
|∇φm|
2 ∂xk
2
dxdt +
Q
qk
Σ
Q
qk
Σ
2 ∂φm
νkdΓdt.
∂ν
2 ∂φm
νkdΓdt
∂ν
∂φm ∂qk ∂φm
dxdt.
∂xi ∂xi ∂xk
Combinando as igualdades (2.89), (2.92) e (2.97), encontramos (2.88) .
Passemos agora ao principal resultado desta seção.
(2.97)
Teorema 2.7 (Regularidade Escondida) Se φ é solução fraca do problema (2.1), então
e, além disso, existe uma constante C > 0 tal que
2
∂φ
dΓdt ≤ C E0 +
∂ν
onde E0 é definido como no Teorema 2.6.
Σ
∂φ
∂ν ∈ L2 (Σ) (2.98)
T
0
|f(s)| ds , (2.99)
Prova: Seja qk = hk o campo vetorial do Lema 2.1 (qk = vk sobre Γ), que substituindo no
Lema 2.3, segue que
2 1 ∂φm
dΓdt =
2 Σ ∂ν
∂hk ∂φm ∂φm
+
dxdt −
∂xj ∂xk ∂xi
Q
φ ′ m(t), hk
fmhk
Q
∂φm(t)
∂xk
T
0
∂φm
dxdt.
∂xk
+ 1
2
Q
∂hk
′ |φ m| 2 − |▽φm| 2 dxdt
∂xk
(2.100)
Iremos agora a obter estimativas para todos os termos que aparecem no lado direito da
igualdade (2.100).
Como hk ∈ C1 Ω , temos
φ
′
T
∂φm(t)
m(t), hk ≤ 2 sup
∂xk
0≤t≤T
0
φ ′ m (t) , hk
41
∂φm (t)
∂xk
≤ sup Em (t) , (2.101)
0≤t≤T