Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Substituindo (2.91) em (2.90) segue que
1
φ
2 Q
′′ mqk
• Análise de −
Q
∂φm
dxdt =
∂xk
∆φmqk ∂φm
∂xk dxdt.
φ ′ m(t), qk
∂φm(t)
∂xk
T
0
+ 1
2
Aplicando o Teorema de Green (Teorema 1.9) temos,
∂φm
∂φm
− ∆φmqk dxdt = −
Q ∂xk
Σ ∂ν qk
∂φm
dΓdt + ∇φm · ∇
∂xk
Q
Q
∂qk
(φ
∂xk
′ m) 2 dxdt. (2.92)
qk
∂φm
A segunda integral do lado direito de (2.93) pode ser vista como sendo
∂φm
∂φm ∂ ∂φm
∇φm · ∇ qk dxdt = qk
+
Q
∂xk
Q ∂xi ∂xi ∂xk
∂φm
∂qk ∂φm
dxdt
∂xi ∂xi ∂xk
= 1
2
∂ ∂φm
∂φm ∂qk ∂φm
qk
dxdt +
dxdt.
2 ∂xk ∂xi
∂xi ∂xi ∂xk
Q
Notemos que a identidade (2.80) e o Lema de Gauss nos garante que
1
2
= 1
2
qk
Q
∂
∂xk
Q
∂φm
∂xi
2
qk |∇φm|
Σ
2 νkdΓdt − 1
2
∂xk
dxdt = 1
∂
qk |∇φm|
2 Q ∂xk
2 dxdt
∂qk
|∇φm|
∂xk
2 dxdt.
Dessa forma (2.94) transforma-se em
∂φm
∇φm · ∇ qk dxdt =
Q
∂xk
1
qk |∇φm|
2 Σ
2 νkdΓdt − 1
2
Substituindo (2.95) em (2.93), temos
∂φm
∂φm
∆φmqk dxdt = −
Q ∂xk
Σ ∂ν qk
∂φm
dΓdt +
∂xk
1
qk |∇φm|
2 Σ
2 νkdΓdt
− 1
∂qk
|∇φm|
2 ∂xk
2
∂φm ∂qk ∂φm
dxdt +
dxdt.
∂xi ∂xi ∂xk
Q
Q
Q
Q
dxdt. (2.93)
(2.94)
∂qk
|∇φm|
∂xk
2 dxdt. (2.95)
Usando as identidades do Lema 2.2, a primeira integral do lado esquerdo de (2.96) é
∂φm
−
Σ
∂ν qk
∂φ
∂xk
dΓdt = − qk
Σ
40
2 ∂φm
νkdΓdt
∂ν
(2.96)