Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Substituindo (2.91) em (2.90) segue que<br />
<br />
1<br />
φ<br />
2 Q<br />
′′ mqk<br />
• Análise de − <br />
Q<br />
∂φm<br />
dxdt =<br />
∂xk<br />
∆φmqk ∂φm<br />
∂xk dxdt.<br />
<br />
φ ′ m(t), qk<br />
∂φm(t)<br />
∂xk<br />
T <br />
0<br />
+ 1<br />
<br />
2<br />
Aplicando o Teorema de Green (Teorema 1.9) temos,<br />
<br />
<br />
∂φm<br />
∂φm<br />
− ∆φmqk dxdt = −<br />
Q ∂xk<br />
Σ ∂ν qk<br />
<br />
∂φm<br />
dΓdt + ∇φm · ∇<br />
∂xk<br />
Q<br />
Q<br />
∂qk<br />
(φ<br />
∂xk<br />
′ m) 2 dxdt. (2.92)<br />
qk<br />
∂φm<br />
A segun<strong>da</strong> integral do lado direito de (2.93) pode ser vista como sendo<br />
<br />
∂φm<br />
∂φm ∂ ∂φm<br />
∇φm · ∇ qk dxdt = qk<br />
+<br />
Q<br />
∂xk<br />
Q ∂xi ∂xi ∂xk<br />
∂φm<br />
<br />
∂qk ∂φm<br />
dxdt<br />
∂xi ∂xi ∂xk<br />
= 1<br />
2 <br />
∂ ∂φm<br />
∂φm ∂qk ∂φm<br />
qk<br />
dxdt +<br />
dxdt.<br />
2 ∂xk ∂xi<br />
∂xi ∂xi ∂xk<br />
Q<br />
Notemos que a identi<strong>da</strong>de (2.80) e o Lema de Gauss nos garante que<br />
<br />
1<br />
2<br />
= 1<br />
2<br />
qk<br />
Q<br />
<br />
∂<br />
∂xk<br />
Q<br />
∂φm<br />
∂xi<br />
2<br />
qk |∇φm|<br />
Σ<br />
2 νkdΓdt − 1<br />
2<br />
∂xk<br />
dxdt = 1<br />
<br />
∂<br />
qk |∇φm|<br />
2 Q ∂xk<br />
2 dxdt<br />
<br />
∂qk<br />
|∇φm|<br />
∂xk<br />
2 dxdt.<br />
Dessa forma (2.94) transforma-se em<br />
<br />
∂φm<br />
∇φm · ∇ qk dxdt =<br />
Q<br />
∂xk<br />
1<br />
<br />
qk |∇φm|<br />
2 Σ<br />
2 νkdΓdt − 1<br />
<br />
2<br />
Substituindo (2.95) em (2.93), temos<br />
<br />
<br />
∂φm<br />
∂φm<br />
∆φmqk dxdt = −<br />
Q ∂xk<br />
Σ ∂ν qk<br />
∂φm<br />
dΓdt +<br />
∂xk<br />
1<br />
<br />
qk |∇φm|<br />
2 Σ<br />
2 νkdΓdt<br />
− 1<br />
<br />
∂qk<br />
|∇φm|<br />
2 ∂xk<br />
2 <br />
∂φm ∂qk ∂φm<br />
dxdt +<br />
dxdt.<br />
∂xi ∂xi ∂xk<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
Q<br />
<br />
dxdt. (2.93)<br />
(2.94)<br />
∂qk<br />
|∇φm|<br />
∂xk<br />
2 dxdt. (2.95)<br />
Usando as identi<strong>da</strong>des do Lema 2.2, a primeira integral do lado esquerdo de (2.96) é<br />
<br />
∂φm<br />
−<br />
Σ<br />
∂ν qk<br />
∂φ<br />
∂xk<br />
<br />
dΓdt = − qk<br />
Σ<br />
40<br />
2 ∂φm<br />
νkdΓdt<br />
∂ν<br />
(2.96)