Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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Agradecimentos A Deus por me permitir acordar cada manhã debaixo de Seu olhar misericordioso. À Virgem por cuidar de mim a cada segundo da minha vida, brindando-me com Seu doce sorriso. Ao Prof. Dr. Fágner Dias Araruna, por compartilhar comigo seus conhecimentos, pela excelente orientação, dedicação, paciência, compreensão e apoio desde o início do curso. Aos Professores: Dr. Gladson Antunes, Dr. Milton de Lacerda Oliveira e Dr. Marivaldo Pereira Matos, por ter aceitado colaborar, de forma gentil, com nosso trabalho e pela contribuição à dissertação. A todos os professores do departamento de Matemática da UFPB que contribuíram para meu engrandecimento acadêmico, em particular ao professor Dr. Everaldo Medeiros, pelo incondicional apoio, os conhecimentos adquiridos e sua admirável nobreza. À minha mãe Maria Winnies, por me rodear sempre com seu doce amor, mostrando-me um mundo cheio de cores e fazendo de mim a mulher que hoje sou. Ao meu amado esposo Bertolt Camilo, por brindar-me todo seu amor, cada segundo destes 10 anos juntos, acompanhando-me na conquista dos meus sonhos e fazendo-me a esposa mais feliz do mundo. À toda minha família pelo constante incentivo, em particular aos meus irmãos Miguel Àngel e Pablo Cesar e as minhas sobrinhas Mitchel, Winnies Daniela e Maria Camila, por cantar e dançar para mim em cada encontro, lembrando-me que a distância não separa, une as pessoas que se amam. Aos meus sogros Myriam e Eudoxio e a meus cunhados Johana e Edwin, pelo apoio, carinho e a proteção para com meu matrimônio. Aos meus colegas de mestrado e amigos, particularmente a Luis Jonatha, Osvaldo e Fabiola pela agradável convivência, fazendo-me rir e acompanhando-me nos momentos difíceis. iv
À ”Turma de Compatriotas”: Alejandro Diego, Alexander, Luisa, Luz Marina e Luis, pelo incentivo em todo momento e estar presente sempre que precisei. À ”Turma Internacional”, pela companhia e os momentos inesquecíveis desfrutando da cultura brasileira. Ao Brasil, por abrir-me as portas, permitindo-me cumprir este sonho. Ao CNPQ, pelo apoio financeiro. v
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Page 3: Ficha Catalográfica MURILLO, Kelly
Page 7 and 8: Resumo Estudamos os problemas de co
Page 9 and 10: Sumário Introdução 1 1 Prelimina
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Page 13 and 14: mistérios do controle de sistemas.
Page 15 and 16: Consideremos o sistema ⎧ ⎪⎨
Page 17 and 18: Capítulo 1 Preliminares trabalho.
Page 19 and 20: Exemplo 1.2 Seja u ∈ L 1 loc (Ω
Page 21 and 22: onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p =
Page 23 and 24: Lema 1.2 (Rellich-Kondrachov) Seja
Page 25 and 26: Prova: Ver [6]. Teorema 1.7 (Banac
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Page 29 and 30: onde os gjm(t) são soluções do s
Page 31 and 32: onde C > 0 independe de m e t. Pass
Page 33 and 34: Desde que φ ∈ L ∞ (0, T ; H 1
Page 35 and 36: Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solu
Page 37 and 38: Prova: A solução forte φ é o li
Page 39 and 40: Como {wi} i é uma base ortonormal
Page 41 and 42: Logo pelos mesmos argumentos usados
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Page 45 and 46: Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω
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Page 49 and 50: Seja (hk)1≤k≤n o campo vetorial
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Sendo w ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)
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onde 〈·, ·〉 representa difere
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Prova: Seja w ∈ H 2 0 (0, T ; H 2
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Assim, pela desigualdade de Cauchy-
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Sabemos que: 1 2 Q ∂hk ∂xk |
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Notemos que (2.170) e (2.171) são
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Consideremos o sistema ⎧ y ⎪⎨
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Consideremos o problema não homog
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Dessa forma, temos por (3.8) que
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Lema 3.1 Seja φ a solução de (3.
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Pela desigualdade inversa (3.21) te
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3.1.2 Controlabilidade Exata Intern
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Por outra parte, como ψ = 0 e φ =
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Por (i) e (ii) concluimos a equival
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Da desigualdade direta (3.46) obtem
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outro controle tal que para dados i
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(ii) Para ε > 0, o problema (3.57)
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podemos reescrever (3.61) por inf
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Seja ρ0 j, ρ1 j (3.62) tal que
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Logo para qualquer {ρ 0 , ρ 1 }
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Consideremos o operador linear e co
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Para cada n ∈ N, seja ρn a solu
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de (3.30) satisfaz (3.72) . Além d
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(iii) para cada compacto K de G exi
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Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣
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Apêndice B Desigualdades de Observ
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onde E (t) é a energia definida em
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B.2 Observabilidade para o Controle
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Mostremos que, dado ε > 0 tal que
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Multiplicando ambos lados de (3.32)
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φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
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[11] KALMAN, R. E., Optimization, M
Page 119:
[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex
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