Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Seja (hk)1≤k≤n o campo vetorial do Lema 2.1, logo hj = νj e pelo Teorema de Gauss-
Green (Teorema 1.8), temos:
∂ ∂
(φhjβ) dx =
∂xi ∂xj
Ω
νi
Γ
Iremos agora a obter expresões para as integrais em (2.82) .
∂ (φhjβ)
dΓ. (2.82)
∂xj
Aplicando o Lema de Gauss na primeira integral de (2.82) e tendo em conta que hj = νj
e β = θ, temos
∂ ∂
∂φ
(φhjβ) dx =
Ω ∂xj ∂xi
Γ ∂xi
Somando j de 1 a n na integral do lado direito de (2.83) temos
n
∂φ
θν
∂xi
2
j dΓ =
∂φ
θdΓ.
∂xi
j=1
Γ
Γ
θν 2 j dΓ. (2.83)
Logo, obtemos a seguinte igualdade relacionada ao primeiro termo de (2.82):
n
∂ ∂
(φhjβ) dx =
∂xj ∂xi
∂φ
θdΓ.
∂xi
(2.84)
j=1
Por outro lado, como φ ∈ H1 0(Ω) ∩ H2 (Ω), então
∂ (φhjβ) ∂φ
dΓ = νi (hjβ)dΓ =
∂xj
∂xj
νi
Γ
Ω
Γ
Γ
νi
Γ
∂φ
νjθdΓ. (2.85)
∂xj
Observe que, somando de j de 1 a n no último termo de (2.85) , obtemos
n
∂φ
∂φ
νi νjθdΓ = νi θdΓ. (2.86)
∂xj
∂ν
Logo
j=1
n
j=1
Γ
νi
Γ
Γ
∂ (φhjβ)
dΓ =
∂xj
νi
Γ
∂φ
θdΓ. (2.87)
∂ν
Assim, somando j de 1 a n em ambos os lados de (2.82) e, em seguida, substituindo as (2.84)
e (2.87) , obtemos (2.79) .
Por outra parte, para provar (2.80), é suficiente considerar
n ∂φ ∂φ
νi νi
∂xi ∂xi
n ∂φ ∂φ
=
∂xi ∂xi
= |▽φ| 2 .
i=1
Como ∂φ
∂ν = ν · ▽φ, então |▽φ|2 = ∂φ 2.
∂ν
i=1
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