Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

e a derivada normal de φ tem a seguinte regularidade:
O objetivo desta seção é mostrar que ∂φ
∂ν
∂φ
∂ν ∈ L1 (0, T, H 1
2 (Γ)) + H −1 (0, T ; H 1
2 (Γ)). (2.77)
pertence a seguinte classe:
∂φ
∂ν ∈ L2 (Σ). (2.78)
Notemos que a regularidade (2.78) não provém das propiedades da solução fraca φ dada pelo
Teorema 2.4. Por esta razão ela é chamada de Regularidade Escondida. Esta denominação
foi introduzida por Lions em [18], quando o autor estudou um problema misto associado
à equação de onda semilinear. Antes de enunciarmos o principal resultado desta seção,
provaremos algums resultados essenciais para a obtenção de (2.78).
Lema 2.1 Seja ν = (ν1, ν2, ..., νn) o campo de vetores normais exteriores a Γ. Então existe
um campo vetorial h = (h1, h2, ..., hn) ∈ C 1 (Ω) n tal que hi = νi sobre Γ, para i = 1, 2, ...n.
Prova: Pelo Lema 1.2, temos que Hm (Ω) ↩→ C1 (Ω), para m > 1 + n.
Sendo o operador
2
traço γ0 : Hm 1
1
m− m− (Ω) → H 2 (Γ) sobrejetivo, dado νk ∈ H 2 (Γ), existe hk ∈ Hm (Ω) tal que
γ0(hk) = νk.
Lema 2.2 Se φ ∈ H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω), então
e
∂φ
∂xi
∂φ
= νi
∂ν
|▽φ| 2 =
sobre Γ (2.79)
2 ∂φ
. (2.80)
∂ν
Prova: Para provar (2.79) , mostraremos que
∂φ
∂φ
θdΓ = νi θdΓ, ∀θ ∈ D(Γ).
∂xi ∂ν
(2.81)
Γ
Γ
Consideremos β ∈ C 2 (Ω) tal que γ0(β) = θ, ou seja, β = θ sobre Γ. A função β existe devido
a imersão H m (Ω) ↩→ C 2 (Ω), para m > 2 + 2
n
e o Teorema do Traço (Teorema 1.2).
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