Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

e, pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3), temos
|φ ′ m(t) − φ ′ n(t)| 2 + φm(t) − φn(t) 2
φ
1
≤ C m − φ 1
n
2 + 0
φm − φ 0
n
2 +
0
T
|fm(t) − fn(t)| dt .
Usando as convergências (2.55) em (2.76) podemos concluir que, quando m, n → ∞,
e
max
0≤t≤T |φ′ m(t) − φ ′ n(t)| → 0
max
0≤t≤T φm(t) − φn(t) → 0.
(2.76)
Logo (φv) v∈N e (φ ′ v) v∈N são sequências de Cauchy em C 0 ([0, T ] ; H 1 0(Ω)) e C 1 ([0, T ] ; L 2 (Ω)) ,
respectivamente. Assim
e
φv → α forte em C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω
φ ′ v → β forte em C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) .
Pelas convergências (2.66) e (2.67), temos que α = φ e β = φ ′ e, portanto, temos a
regularidade (2.75) para φ.
2.2.1 Regularidade Escondida para Soluções Fracas
Nesta seção estudaremos a regularidade da derivada normal da solução fraca φ na
fronteira Σ do cilindro Q.
Consideraremos φ solução fraca do problema (2.1), logo pela Seção 2.2, temos φ ′
∈ L 2 (0, T, L 2 (Ω)), portanto φ ′′ ∈ H −1 (0, T, L 2 (Ω)). Assim
Quando Γ é regular, isto implica que
−∆φ = f − φ ′′ ∈ L 1 (0, T, L 2 (Ω)) + H −1 (0, T ; L 2 (Ω)).
φ ∈ L 1 (0, T, H 2 (Ω)) + H −1 (0, T ; H 2 (Ω))
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