Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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e, pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3), temos<br />
|φ ′ m(t) − φ ′ n(t)| 2 + φm(t) − φn(t) 2<br />
<br />
φ<br />
1<br />
≤ C m − φ 1 <br />
<br />
n<br />
2 + 0<br />
φm − φ 0 <br />
<br />
n<br />
2 +<br />
0<br />
T<br />
<br />
|fm(t) − fn(t)| dt .<br />
Usando as convergências (2.55) em (2.76) podemos concluir que, quando m, n → ∞,<br />
e<br />
max<br />
0≤t≤T |φ′ m(t) − φ ′ n(t)| → 0<br />
max<br />
0≤t≤T φm(t) − φn(t) → 0.<br />
(2.76)<br />
Logo (φv) v∈N e (φ ′ v) v∈N são sequências de Cauchy em C 0 ([0, T ] ; H 1 0(Ω)) e C 1 ([0, T ] ; L 2 (Ω)) ,<br />
respectivamente. Assim<br />
e<br />
φv → α forte em C 0 [0, T ] ; H 1 0(Ω <br />
φ ′ v → β forte em C 1 [0, T ] ; L 2 (Ω) .<br />
Pelas convergências (2.66) e (2.67), temos que α = φ e β = φ ′ e, portanto, temos a<br />
regulari<strong>da</strong>de (2.75) para φ. <br />
2.2.1 Regulari<strong>da</strong>de Escondi<strong>da</strong> para Soluções Fracas<br />
Nesta seção estu<strong>da</strong>remos a regulari<strong>da</strong>de <strong>da</strong> deriva<strong>da</strong> normal <strong>da</strong> solução fraca φ na<br />
fronteira Σ do cilindro Q.<br />
Consideraremos φ solução fraca do problema (2.1), logo pela Seção 2.2, temos φ ′<br />
∈ L 2 (0, T, L 2 (Ω)), portanto φ ′′ ∈ H −1 (0, T, L 2 (Ω)). Assim<br />
Quando Γ é regular, isto implica que<br />
−∆φ = f − φ ′′ ∈ L 1 (0, T, L 2 (Ω)) + H −1 (0, T ; L 2 (Ω)).<br />
φ ∈ L 1 (0, T, H 2 (Ω)) + H −1 (0, T ; H 2 (Ω))<br />
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