Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)), w ′ ∈ L ∞ (0, T, L 2 (Ω)) e w ′′ ∈ L 1 (0, T, H −1 (Ω)). Logo não é<br />
possível considerar 〈w ′′ (t) , w (t)〉, duali<strong>da</strong>de entre H −1 (Ω) e H 1 0 (Ω) . Dessa forma precisamos<br />
definir uma nova função ϕ, de modo a fazer sentido a duali<strong>da</strong>de acima.<br />
Seja 0 < s < T , definamos<br />
⎧ s<br />
⎪⎨ − w(r)dr, 0 < t < s<br />
ϕ(t) = t<br />
⎪⎩ 0, s ≤ t < T.<br />
Portanto, ϕ ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)) e faz sentido, a duali<strong>da</strong>de 〈w ′′ (t) − ∆w (t) , ϕ (t)〉. Assim,<br />
l<br />
Seja w1(l) =<br />
s<br />
0<br />
s<br />
−<br />
0<br />
T<br />
〈w ′′ T<br />
(t) , ϕ (t)〉 dt + 〈−∆w (t) , ϕ (t)〉 dt = 0. (2.72)<br />
0<br />
0<br />
w(r)dr então ϕ(t) = w1(t) − w1(s) e ϕ<br />
0<br />
′ (t) = w ′ 1(t) − w(t). Logo<br />
〈w ′′ (t) , ϕ (t)〉 dt = (w ′ (t) , ϕ (t))| s<br />
0 −<br />
(w ′ (t) , ϕ ′ (t))dt = −<br />
s<br />
s<br />
1 d<br />
2 dt |w (t)|2 dt = − 1<br />
2 |w(s)|2<br />
0<br />
0<br />
(w ′ (t) , ϕ ′ (t))dt = w ′ (s)ϕ(s) − w ′ (0)ϕ(0)<br />
e T<br />
s<br />
s<br />
1 d<br />
〈−∆w (t) , ϕ (t)〉 dt = ((w (t) , ϕ (t)))dt =<br />
0<br />
0<br />
0 2 dt ϕ(t)2 dt<br />
= 1<br />
2 ϕ(s)2 − 1<br />
2 ϕ(0)2 = − 1<br />
2 ϕ(0)2 .<br />
Logo aplicando as duas últimas igual<strong>da</strong>des em (2.72), obtemos:<br />
Então w ≡ 0 e, portanto, φ = φ. <br />
|w(s)| + ϕ(0) 2 = 0.<br />
Definamos a energia E (t) do sistema (2.1) como sendo<br />
Para essa energia, temos o seguinte resultado:<br />
E (t) = 1<br />
<br />
|φ<br />
2<br />
′ (t)| 2 + φ(t) 2<br />
. (2.73)<br />
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