Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)), w ′ ∈ L ∞ (0, T, L 2 (Ω)) e w ′′ ∈ L 1 (0, T, H −1 (Ω)). Logo não é
possível considerar 〈w ′′ (t) , w (t)〉, dualidade entre H −1 (Ω) e H 1 0 (Ω) . Dessa forma precisamos
definir uma nova função ϕ, de modo a fazer sentido a dualidade acima.
Seja 0 < s < T , definamos
⎧ s
⎪⎨ − w(r)dr, 0 < t < s
ϕ(t) = t
⎪⎩ 0, s ≤ t < T.
Portanto, ϕ ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)) e faz sentido, a dualidade 〈w ′′ (t) − ∆w (t) , ϕ (t)〉. Assim,
l
Seja w1(l) =
s
0
s
−
0
T
〈w ′′ T
(t) , ϕ (t)〉 dt + 〈−∆w (t) , ϕ (t)〉 dt = 0. (2.72)
0
0
w(r)dr então ϕ(t) = w1(t) − w1(s) e ϕ
0
′ (t) = w ′ 1(t) − w(t). Logo
〈w ′′ (t) , ϕ (t)〉 dt = (w ′ (t) , ϕ (t))| s
0 −
(w ′ (t) , ϕ ′ (t))dt = −
s
s
1 d
2 dt |w (t)|2 dt = − 1
2 |w(s)|2
0
0
(w ′ (t) , ϕ ′ (t))dt = w ′ (s)ϕ(s) − w ′ (0)ϕ(0)
e T
s
s
1 d
〈−∆w (t) , ϕ (t)〉 dt = ((w (t) , ϕ (t)))dt =
0
0
0 2 dt ϕ(t)2 dt
= 1
2 ϕ(s)2 − 1
2 ϕ(0)2 = − 1
2 ϕ(0)2 .
Logo aplicando as duas últimas igualdades em (2.72), obtemos:
Então w ≡ 0 e, portanto, φ = φ.
|w(s)| + ϕ(0) 2 = 0.
Definamos a energia E (t) do sistema (2.1) como sendo
Para essa energia, temos o seguinte resultado:
E (t) = 1
|φ
2
′ (t)| 2 + φ(t) 2
. (2.73)
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