Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Logo pelas covergências dadas em (2.55), temos
|φ ′ m (t)| 2 + ||φm (t)|| 2 ≤ C +
e pela desigualdade de Gronwall (Lema 1.3), segue que
onde C > 0 independe de m e t. Assim,
t
|fm(s)| |φ ′ m(s)| 2 ds.
0
|φ ′ m (t)| 2 + ||φm (t)|| 2 ≤ C, (2.63)
(φm) é limitada em L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)), (2.64)
(φ ′ m) é limitada em L ∞ (0, T, L 2 (Ω)). (2.65)
Pelo Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki (Teorema 1.3), existe uma subsequência de (φm),
ainda denotada da mesma forma, tal que
φm → φ fraco − ∗ em L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω)), (2.66)
φ ′ m → φ ′
fraco − ∗ em L ∞ (0, T, L 2 (Ω)). (2.67)
Multiplicando (??) por θ ∈ D(0, T ) e integrando de 0 a T , temos
T
−
0
(φ ′ m (t) , v)θ ′ (t) dt +
Usando (2.66) e (2.67) obtemos:
T
−
0
Logo
(φ ′ (t) , v)θ ′ dt +
T
T
((φ (t) , v))θdt =
0
T
T
((φm (t) , v))θ (t) dt = (fm (t) , v)θ (t) dt.
0
0
0
(f (t) , v)θ (t) dt, ∀θ ∈ D(0, T ) e ∀v ∈ H 1 0 (Ω) .
〈(φ ′ (t) , v), θ ′ (t)〉 D ′ (Ω),D(Ω) + 〈((φ (t) , v)), θ (t)〉 D ′ (Ω),D(Ω) = 〈(f (t) , v), θ (t)〉 D ′ (Ω),D(Ω) ,
ou seja,
d
dt (φ′
(t) , v) + ((φ (t) , v)) − (f (t) , v), θ (t) = 0, ∀θ ∈ D(0, T ) e ∀v ∈ H 1 0 (Ω) .
32
(2.68)