Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Logo pelos mesmos argumentos usados para obter (2.47) e (2.48), deduzimos que
e (φ ′ m) m∈N é tal que
gi(t) ′
λi
2
R
→ 0, quando m, n → ∞
max
0≤t≤T φ′ m(t) − φ ′ n(t) 2 → 0, quando m, n → ∞,
ou seja, (φ ′ m) m∈N é uma sequência de Cauchy em C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω)) e segue que φ ′ ∈
C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω)) .
2.2 Solução Fraca
O objetivo nesta seção é considerar o problema (2.1) com dados iniciais φ 0 , φ 1 e f.menos
regulares. A solução obtida com essa pouca regularidade sobre os dados, será denominada
solução fraca.
Teorema 2.4 (Solução Fraca) Sejam φ 0 ∈ H 1 0 (Ω) , φ 1 ∈ L 2 (Ω) e f ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)).
Então existe uma única função φ : Q → R tal que
φ ∈ L ∞ 0, T ; H 1 0 (Ω) , (2.49)
φ ′ ∈ L ∞ 0, T ; L 2 (Ω) , (2.50)
φ ′′ ∈ L 1 0, T ; H −1 (Ω) , (2.51)
d
dt (φ′ , v) + ((φ, v)) = (f, v), ∀v ∈ H 1 0 (Ω) em D ′ (0, T ), (2.52)
φ ′′ − ∆φ = f em L 1 0, T ; H −1 (Ω) , (2.53)
φ (0) = φ 0 , φ ′ (0) = φ 1 . (2.54)
Prova: A existência de solução fraca será provada por aproximação de uma sequência de
soluções fortes encontradas na seção anterior.
• Existência
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