Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Como {wi} i é uma base ortonormal em L2
wi
(Ω), então
λi
H1 0 (Ω)∩H 2
wi
(Ω). Mais ainda, pode-se provar que
λi i
logo pela identidade de Parseval, obtemos
0
φ 2 H1 0 (Ω)∩H2 (Ω) =
∞
Como
φ 0 , wi
λi
i=1
H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω)
φ 0 , wi
λi
=
H 1 0 (Ω)∩H2 (Ω)
∆φ 0 , ∆ wi
λi
2
i
é ortonormal em
é completo. Suponhamos f regular,
e φ 1 2 =
∞
φ 1 , wi
2
√λi .
i=1
= − ∆φ 0 , λiwi
= −
λi
∆φ 0
, wi
e
φ 1 , wi
√λi
H1 0 (Ω)
= ∇φ 1 , ∇wi
√ = − φ
λi
1 , ∆wi
√ = − φ
λi
1 , λiwi
√ = −
λi
φ 1 λi
, wi √λi ,
deduzimos que
de onde
m
i=n+1
∆φ 0 2 , wi → 0 e
m
i=n+1
√λi
1 λi
φ , wi
Notemos agora que sendo f (s) ∈ H 1 0 (Ω), temos
f(s) 2
H 1 0
i=1
f (s) =
∞
i=1
2
R
f(s), wi
wi
√λi √λi ,
∞
= f(s),
wi
wi
√λi √λi
2
→ 0, quando m, n → ∞. (2.47)
=
∞
λi
(f(s), wi) √λi
Como consideramos f regular, ou seja, f ∈ C 0 ([0, T ] ; H 1 0 (Ω)), aplicando a desigualdade
de Cauchy-Schwarz obtemos
T λi
(f(s), wi) √λi
ds
0
2
T
≤ T
0
i=1
λi
(f(s), wi) √λi
Portanto o último termo do lado direito de (2.46) pode ser visto como
m
i=n+1
T λi
(f(s), wi) √λi
ds
0
2
T
≤ T
0
m
i=n+1
28
λi
(f(s), wi) √λi
2
2
ds.
2
ds → 0, quando m, n → ∞.
.
(2.48)