Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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Substituindo em (2.40) θ por uma função θh ∈ D (0, T ) , definida por ⎧ ⎨ θ(t), em (s − h, s + h) ⊂ (0, T ), θh(t) = ⎩ 0, em (0, T ) − (s − h, s + h) , dividindo ambos os lados por 2h > 0 e fazendo h → 0, obtemos s+h 1 lim φ h→02h s−h ′ (t) 2 s+h 1 θ(t)dt + lim |∆φ(t)| h→02h s−h 2 θ(t)dt s+h 1 ≤ lim φ h→02h s−h 1 2 s+h 1 θ(t)dt + lim ∆φ h→02h s−h 0 2 θ(t)dt s+h t 1 + 2lim ((f(s), φ h→02h ′ (s))) ds θ(t)dt s−h e, portanto, temos a desigualdade de energia (2.35). 0 Corolário 2.1 Se φ é solução forte do problema (2.1), então φ ′ φ 1 (t) + |∆φ(t)| ≤ C + ∆φ0 T + f(s) ds em [0, T ] . (2.41) Prova: Seja φ a solução forte do problema (2.1). Então do Teorema 2.2, segue que φ ′ (t) 2 + |∆φ(t)| 2 ≤ 2 1 φ + ∆φ0 t 2 + 4 0 0 f(s) (φ ′ (s) + |∆φ(s)|) 2 ds. Sejam g(t) = φ ′ (t) + |∆φ(t)| , a = φ 1 + |∆φ 0 | e m(s) = 2 f(s) , então 1 2 g(t)2 ≤ g(t) 2 ≤ 2a 2 + 2 0 t m(s)g(s)ds em [0, T ] . Pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3), obtemos t g(t) ≤ 2 a + m(s)ds em [0, T ] , o que implica na desigualdade (2.41) . Teorema 2.3 (Regularidade da Solução Forte) A solução forte φ de (2.1) pertence à classe 0 φ ∈ C 0 [0, T ] ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ∩ C 1 [0, T ] ; H 1 0 (Ω) . (2.42) 25
Prova: A solução forte φ é o limite fraco de uma seqûencia de aproximações da forma φm(x, t) = m gi(t)wi(x), (2.43) onde os gi(t), 1 ≤ i ≤ m, são soluções do sistema de equações diferenciais ordinárias com as condições iniciais i=1 g ′′ j (t), v + λjgj(t) = (f, wj) , 1 ≤ j ≤ m. (2.44) gj (0) = φ 0 ′ , wj e g j (0) = φ 1 , wj . (2.45) Aplicaremos agora o método de Variações de Constantes de Lagrange, ver [12]. A solução geral da equação homogênea associada a (2.44) é da forma: gjh (t) = φ 0 , wj cos λjt + 1 1 √ φ , wj sen λjt. λ Calculando o Wronskiano W , obtemos W = gj1 (t) g gj2 (t) ′ j1 (t) g ′ j2 (t) = cos λjt sen − λjt λjsen λjt − λj cos λjt = λj cos 2 λjt + λjsen 2 λjt = λj. Assim temos uma solução particular de (2.44), da forma t sen gjp (t) = 0 λjt cos λjs − cos λjtsen λjs (f (s) , wj) ds λj = 1 t (f (s) , wj) sen λj 0 λj (t − s) ds. Portanto a solução de (2.44) com dados iniciais (2.45) é dada por gj (t) = gjh (t) + gjp (t) = (φ 0 , wj) cos λjt + 1 √ λ (φ 1 , wj) sen λjt + 1 λj 26 t (f (s) , wj) sen λj (t − s) ds, 0
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(iii) para cada compacto K de G exi
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φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
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[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex
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