Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solução forte do problema (2.1), então
φ ′ (t) 2 + |∆φ (t)| 2 ≤ 1
φ 2 + 0
∆φ 2 t
+ 2 ((f(s), φ ′ (s))) ds em [0, T ] . (2.35)
Prova: Considerando em (2.7) v = −2∆φ ′ m(t) ∈ Vm obtemos
ou seja,
(φ ′′ m(t), −2∆φ ′ (t)) + (∆φm(t), −2∆φ ′ m(t)) = 2 (f(t), ∆φ ′ m(t)) ,
d
dt φ′ m(t) 2 + d
dt |∆φm(t)| 2 = ((f(t), φ ′ m(t))) .
Integrando a última igualdade de 0 a t ≤ T , obtemos
temos:
φ ′ m (t) 2 + |∆φm(t)| 2 = φ 1 m
0
2 + ∆φ 0
m
2 t
+ 2 ((f(s), φ ′ m(s))) ds. (2.36)
Agora, multiplicando ambos lados de (2.36) por θ ∈ D (0, T ) e integrando de 0 a T ,
T
φ
0
′ m (t) 2 T
θ(t)dt + |∆φm(t)|
0
2 θ(t)dt (2.37)
T
= 1
φ
m
2 T
θ(t)dt + 0
∆φ
m
2 T t
θ(t)dt + 2 ((f(s), φ ′
m(s))) ds θ(t)dt.
0
0
Pelas convergências (2.25) e (2.26), temos pelo Teorema 1.5 que
e
T
0
T
0
0
0
0
φ ′ (t) 2 T
θ(t)dt ≤ lim φ
0
′ m(t) 2 θ(t)dt (2.38)
|∆φ(t)| 2 T
θ(t)dt ≤ lim
0
|∆φm(t)| 2 θ(t)dt. (2.39)
Tomando lim em ambos os lados de (2.37) e tendo em conta que (2.7) 2 , (2.7) 3 , (2.25) ,
(2.39), (2.40) e limµ + limv ≤ lim(µ + v), segue
T
φ
0
′ (t) 2 T
θ(t)dt + |∆φ(t)|
0
2 θ(t)dt
T
≤ φ
(2.40)
0
1 2 T
θ(t)dt + 0
∆φ
0
2 T t
θ(t)dt + 2 ((f(s), φ
0 0
′
(s))) ds θ(t)dt.
24