Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solução forte do problema (2.1), então<br />
φ ′ (t) 2 + |∆φ (t)| 2 ≤ 1<br />
φ 2 + 0<br />
∆φ 2 t<br />
+ 2 ((f(s), φ ′ (s))) ds em [0, T ] . (2.35)<br />
Prova: Considerando em (2.7) v = −2∆φ ′ m(t) ∈ Vm obtemos<br />
ou seja,<br />
(φ ′′ m(t), −2∆φ ′ (t)) + (∆φm(t), −2∆φ ′ m(t)) = 2 (f(t), ∆φ ′ m(t)) ,<br />
d<br />
dt φ′ m(t) 2 + d<br />
dt |∆φm(t)| 2 = ((f(t), φ ′ m(t))) .<br />
Integrando a última igual<strong>da</strong>de de 0 a t ≤ T , obtemos<br />
temos:<br />
φ ′ m (t) 2 + |∆φm(t)| 2 = φ 1 m<br />
0<br />
<br />
2 + ∆φ 0 <br />
<br />
m<br />
2 t<br />
+ 2 ((f(s), φ ′ m(s))) ds. (2.36)<br />
Agora, multiplicando ambos lados de (2.36) por θ ∈ D (0, T ) e integrando de 0 a T ,<br />
T<br />
φ<br />
0<br />
′ m (t) 2 T<br />
θ(t)dt + |∆φm(t)|<br />
0<br />
2 θ(t)dt (2.37)<br />
T <br />
= 1<br />
φ <br />
m<br />
2 T <br />
θ(t)dt + 0<br />
∆φ <br />
m<br />
2 T t<br />
θ(t)dt + 2 ((f(s), φ ′ <br />
m(s))) ds θ(t)dt.<br />
0<br />
0<br />
Pelas convergências (2.25) e (2.26), temos pelo Teorema 1.5 que<br />
e<br />
T<br />
0<br />
T<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
φ ′ (t) 2 T<br />
θ(t)dt ≤ lim φ<br />
0<br />
′ m(t) 2 θ(t)dt (2.38)<br />
|∆φ(t)| 2 T<br />
θ(t)dt ≤ lim<br />
0<br />
|∆φm(t)| 2 θ(t)dt. (2.39)<br />
Tomando lim em ambos os lados de (2.37) e tendo em conta que (2.7) 2 , (2.7) 3 , (2.25) ,<br />
(2.39), (2.40) e limµ + limv ≤ lim(µ + v), segue<br />
T<br />
φ<br />
0<br />
′ (t) 2 T<br />
θ(t)dt + |∆φ(t)|<br />
0<br />
2 θ(t)dt<br />
T <br />
≤ φ<br />
(2.40)<br />
0<br />
1 2 T <br />
θ(t)dt + 0<br />
∆φ<br />
0<br />
2 T t<br />
θ(t)dt + 2 ((f(s), φ<br />
0 0<br />
′ <br />
(s))) ds θ(t)dt.<br />
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