Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Desde que φ ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω)) e φ ′ ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)), então φ ∈<br />
C 0 ([0, T ] ; H 1 0(Ω)) (ver Teorema 1.4). Assim faz sentido φ(·, 0). Segue de (2.26) que<br />
T<br />
(φ ′ T<br />
m(t), v)θ(t)dt →<br />
0<br />
e θ ∈ C 1 ([0, T ]), com θ(0) = 1 e θ(T ) = 0. Logo,<br />
T<br />
Integrando por partes, temos<br />
Como, por (2.20), temos<br />
0<br />
0<br />
(φ ′ (t), v)θ(t)dt, ∀v ∈ L 2 (Ω)<br />
d<br />
dt (φm(t),<br />
T<br />
d<br />
v)θ(t)dt → (φ(t), v)θ(t)dt. (2.32)<br />
0 dt<br />
−(φ 0 T<br />
m, v) − (φm(t), v)θ ′ T<br />
(t)dt → −(φ(0), v) − (φ(t), v)θ ′ (t)dt. (2.33)<br />
concluimos de (2.33), que<br />
Por outro lado, segue de (2.7) 2 que<br />
0<br />
T<br />
(φm(t), v)θ ′ T<br />
(t)dt → (φ(t), v)θ ′ (t)dt,<br />
0<br />
(φ 0 m, v) → (φ(0), v), ∀v ∈ H 1 0 (Ω) .<br />
(φ 0 m, v) → (φ 0 , v), ∀v ∈ H 1 0 (Ω) .<br />
Dessa forma, podemos concluir que φ 0 = φ(0).<br />
• φ ′ (0) = φ 1<br />
Como φ ′ ∈ L ∞ (0, T ; H 1 0(Ω)) e φ ′′ ∈ L 1 (0, T ; L 2 (Ω)), então, pelo Teorema (1.4) ,<br />
φ ′ ∈ C 0 ([0, T ] ; L 2 (Ω)), fazendo sentido calcular φ ′ (·, 0).<br />
Multiplicando (2.7) 1 por θδ ∈ H 1 (0, T ), defini<strong>da</strong> por<br />
⎧<br />
⎨ −t<br />
+ 1, se 0 ≤ t ≤ δ<br />
θδ (t) = δ<br />
⎩<br />
0, se δ ≤ t ≤ T<br />
22<br />
0<br />
0