Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde C > 0 independe de m e t.
Passagem ao limite. Por (2.12) e (2.16) obtemos
(φm) é limitado em L ∞ (0, T, H 1 0(Ω)), (2.17)
(φ ′ m) é limitado em L ∞ (0, T, H 1 0(Ω)), (2.18)
(∆φm) é limitado em L ∞ (0, T, L 2 (Ω)). (2.19)
Assim, por (2.17) − (2.19) e o Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki (Teorema 1.3),
podemos garantir a existência de uma subsequência de (φm), ainda denotada da mesma
maneira, tal que
φm → φ fraco − ∗ em L ∞ (0, T, H 1 0(Ω) ∩ H 2 (Ω)), (2.20)
φ ′ m → α fraco − ∗ em L ∞ (0, T, H 1 0(Ω)), (2.21)
∆φm → β fraco − ∗ em L ∞ (0, T, L 2 (Ω)). (2.22)
Mostraremos agora que α = φ ′ e β = ∆φ. De fato, por (2.20) temos que φm → φ em D ′ (Q)
e, como o operador derivação é contínuo em D ′ (Q), então
φ ′ m → φ ′
Logo por (2.21) − (2.24) e a unicidade do limite, temos
φ ′ m → φ ′
em D ′ (Q), (2.23)
∆φm → ∆φ em D ′ (Q). (2.24)
fraco − ∗ em L ∞ (0, T, H 1 0(Ω)), (2.25)
∆φm → ∆φ fraco − ∗ em L ∞ (0, T, L 2 (Ω)). (2.26)
Consideremos em (2.7) v ∈ D(Ω) e, em seguida, multipliquemos a equação por θ ∈ D(0, T )
e integremos de 0 a T , para obter
T
(φ ′′ T
T
m(t), v) θ(t)dt + (∆φm(t), v) θ(t)dt = (f(s), v) θ(s)ds. (2.27)
0
0
20
0