Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

More documents

Recommendations

Info

Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear por Kelly Patricia Murillo Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal da Paraíba, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Análise Aprovada por: Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (Orientador) (Universidade Federal da Paraíba - UFPB) Prof. Dr. Gladson Octaviano Antunes (Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ) Prof. Dr. Milton de Lacerda Oliveira (Universidade Federal da Paraíba - UFPB) Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática ii
Ficha Catalográfica MURILLO, Kelly Patricia. Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda.Linear. Kelly Patricia Murillo. João Pessoa: UFPB/DM, 2008. 108 p. 29cm Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal da Paraíba, DM. 1. Equação da onda. 2. Observabilidade. 3. Controlabilidade. 4. HUM. I. Análise II. Título iii
Page 1: Controlabilidade Exata e Aproximada
Page 5 and 6: À ”Turma de Compatriotas”: Ale
Page 7 and 8: Resumo Estudamos os problemas de co
Page 9 and 10: Sumário Introdução 1 1 Prelimina
Page 11 and 12: Notações e Simbologias • (·,
Page 13 and 14: mistérios do controle de sistemas.
Page 15 and 16: Consideremos o sistema ⎧ ⎪⎨
Page 17 and 18: Capítulo 1 Preliminares trabalho.
Page 19 and 20: Exemplo 1.2 Seja u ∈ L 1 loc (Ω
Page 21 and 22: onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p =
Page 23 and 24: Lema 1.2 (Rellich-Kondrachov) Seja
Page 25 and 26: Prova: Ver [6]. Teorema 1.7 (Banac
Page 27 and 28: Capítulo 2 Soluções da Equação
Page 29 and 30: onde os gjm(t) são soluções do s
Page 31 and 32: onde C > 0 independe de m e t. Pass
Page 33 and 34: Desde que φ ∈ L ∞ (0, T ; H 1
Page 35 and 36: Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solu
Page 37 and 38: Prova: A solução forte φ é o li
Page 39 and 40: Como {wi} i é uma base ortonormal
Page 41 and 42: Logo pelos mesmos argumentos usados
Page 43 and 44: Logo pelas covergências dadas em (
Page 45 and 46: Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω
Page 47 and 48: e, pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3)
Page 49 and 50: Seja (hk)1≤k≤n o campo vetorial
Page 51 and 52: Substituindo (2.91) em (2.90) segue
Page 53 and 54:
onde Em (t) é a energia associada
Page 55 and 56:
Sendo w ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)
Page 57 and 58:
onde 〈·, ·〉 representa difere
Page 59 and 60:
Prova: Seja w ∈ H 2 0 (0, T ; H 2
Page 61 and 62:
Assim, pela desigualdade de Cauchy-
Page 63 and 64:
Sabemos que: 1 2 Q ∂hk ∂xk |
Page 65 and 66:
Notemos que (2.170) e (2.171) são
Page 67 and 68:
Consideremos o sistema ⎧ y ⎪⎨
Page 69 and 70:
Consideremos o problema não homog
Page 71 and 72:
Dessa forma, temos por (3.8) que
Page 73 and 74:
Lema 3.1 Seja φ a solução de (3.
Page 75 and 76:
Pela desigualdade inversa (3.21) te
Page 77 and 78:
3.1.2 Controlabilidade Exata Intern
Page 79 and 80:
Por outra parte, como ψ = 0 e φ =
Page 81 and 82:
Por (i) e (ii) concluimos a equival
Page 83 and 84:
Da desigualdade direta (3.46) obtem
Page 85 and 86:
outro controle tal que para dados i
Page 87 and 88:
(ii) Para ε > 0, o problema (3.57)
Page 89 and 90:
podemos reescrever (3.61) por inf
Page 91 and 92:
Seja ρ0 j, ρ1 j (3.62) tal que
Page 93 and 94:
Logo para qualquer {ρ 0 , ρ 1 }
Page 95 and 96:
Consideremos o operador linear e co
Page 97 and 98:
Para cada n ∈ N, seja ρn a solu
Page 99 and 100:
de (3.30) satisfaz (3.72) . Além d
Page 101 and 102:
(iii) para cada compacto K de G exi
Page 103 and 104:
Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣
Page 105 and 106:
Apêndice B Desigualdades de Observ
Page 107 and 108:
onde E (t) é a energia definida em
Page 109 and 110:
B.2 Observabilidade para o Controle
Page 111 and 112:
Mostremos que, dado ε > 0 tal que
Page 113 and 114:
Multiplicando ambos lados de (3.32)
Page 115 and 116:
φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
Page 117 and 118:
[11] KALMAN, R. E., Optimization, M
Page 119:
[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex
show all

Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?