- Page 1: Controlabilidade Exata e Aproximada
- Page 5 and 6: À ”Turma de Compatriotas”: Ale
- Page 7 and 8: Resumo Estudamos os problemas de co
- Page 9 and 10: Sumário Introdução 1 1 Prelimina
- Page 11 and 12: Notações e Simbologias • (·,
- Page 13 and 14: mistérios do controle de sistemas.
- Page 15 and 16: Consideremos o sistema ⎧ ⎪⎨
- Page 17 and 18: Capítulo 1 Preliminares trabalho.
- Page 19 and 20: Exemplo 1.2 Seja u ∈ L 1 loc (Ω
- Page 21 and 22: onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p =
- Page 23 and 24: Lema 1.2 (Rellich-Kondrachov) Seja
- Page 25 and 26: Prova: Ver [6]. Teorema 1.7 (Banac
- Page 27 and 28: Capítulo 2 Soluções da Equação
- Page 29 and 30: onde os gjm(t) são soluções do s
- Page 31 and 32: onde C > 0 independe de m e t. Pass
- Page 33 and 34: Desde que φ ∈ L ∞ (0, T ; H 1
- Page 35 and 36: Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solu
- Page 37 and 38: Prova: A solução forte φ é o li
- Page 39 and 40: Como {wi} i é uma base ortonormal
- Page 41 and 42: Logo pelos mesmos argumentos usados
- Page 43 and 44: Logo pelas covergências dadas em (
- Page 45 and 46: Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω
- Page 47 and 48: e, pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3)
- Page 49 and 50: Seja (hk)1≤k≤n o campo vetorial
- Page 51 and 52: Substituindo (2.91) em (2.90) segue
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onde Em (t) é a energia associada
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Sendo w ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)
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onde 〈·, ·〉 representa difere
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Prova: Seja w ∈ H 2 0 (0, T ; H 2
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Assim, pela desigualdade de Cauchy-
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Sabemos que: 1 2 Q ∂hk ∂xk |
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Notemos que (2.170) e (2.171) são
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Consideremos o sistema ⎧ y ⎪⎨
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Consideremos o problema não homog
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Dessa forma, temos por (3.8) que
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Lema 3.1 Seja φ a solução de (3.
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Pela desigualdade inversa (3.21) te
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3.1.2 Controlabilidade Exata Intern
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Por outra parte, como ψ = 0 e φ =
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Por (i) e (ii) concluimos a equival
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Da desigualdade direta (3.46) obtem
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outro controle tal que para dados i
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(ii) Para ε > 0, o problema (3.57)
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podemos reescrever (3.61) por inf
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Seja ρ0 j, ρ1 j (3.62) tal que
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Logo para qualquer {ρ 0 , ρ 1 }
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Consideremos o operador linear e co
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Para cada n ∈ N, seja ρn a solu
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de (3.30) satisfaz (3.72) . Além d
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(iii) para cada compacto K de G exi
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Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣
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Apêndice B Desigualdades de Observ
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onde E (t) é a energia definida em
- Page 109 and 110:
B.2 Observabilidade para o Controle
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Mostremos que, dado ε > 0 tal que
- Page 113 and 114:
Multiplicando ambos lados de (3.32)
- Page 115 and 116:
φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
- Page 117 and 118:
[11] KALMAN, R. E., Optimization, M
- Page 119:
[34] ZUAZUA, E., Controlabilidad Ex