Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde os gjm(t) são soluções do sistema de equações diferenciais ordinárias:
⎧
⎪⎨
(φ ′′ m(t), v) + ((φm(t), v)) = (f(t), v) , ∀v ∈ Vm,
⎪⎩
φm (0) = φ 0 m (x) → φ 0 forte em H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) ,
φ ′ m (0) = φ 1 m (x) → φ 1 forte em H 1 0 (Ω) .
(2.7)
As convergências anteriores têm sentido, pois o conjunto formado pelas combinações
lineares de elementos de Vm é denso em H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) .
Pelo Teorema de Caratheodory, o sistema (2.7) tem solução no intervalo [0, tm] , com
tm < T (ver Apêndice A) e, essa solução, pode ser estendida a todo o intervalo [0, T ] como
consequência das estimativas a priori que faremos a seguir.
Estimativas I. Fazendo v = 2φ ′ m (t) ∈ Vm em (2.7) 1 , temos:
ou seja,
Integrando (2.8) de 0 a t, obtemos
(φ ′′ m(t), 2φ ′ m (t)) + ((φm(t), 2φ ′ m (t))) = (f(t), 2φ ′ m (t)) ,
d
dt |φ′ m (t)| 2 + d
dt φm (t) 2 = (f(t), 2φ ′ m (t)) . (2.8)
|φ ′ m (t)| 2 + φm (t) 2 = φ 1 m
2 +
0
φ
m
2 t
+
0
(f(s), 2φ ′ m (s)) ds. (2.9)
Utilizando as desigualdades de Cauchy-Schwartz, Hölder e Young, obtemos:
t
t
t
0
(f(s), 2φ ′ m (s)) ds ≤
0
t
≤ 2
|(f(s), 2φ ′ m (s))| ds ≤ 2
0
1
2
|f(s)| ds
t
0
t t
≤ |f(s)| ds +
0
0
0
|f(s)| |φ ′ m (s)| ds
|f(s)| |φ ′ m (s)| 2 ds
|f(s)| |φ ′ m (s)| 2 ds.
Substituindo a última desigualdade em (2.9) segue que
|φ ′ m (t)| 2 + φm (t) 2 ≤ φ 1
m
2 + φ 0
m
2 T
t
+ |f(s)| ds +
0
0
1
2
|f(s)| |φ ′ m (s)| 2 ds. (2.10)
Assim, pela hipótese sobre f e pelas convergências (2.7) 2 e (2.7) 3 obtemos de (2.10) que
|φ ′ m (t)| 2 + φm (t) 2 t
≤ C + |f(s)| |φ
0
′ m (s)| 2 + φm (s) 2
ds, (2.11)
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