Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Capítulo 2
Soluções da Equação Linear da Onda
Neste capítulo, temos como objetivo estudar a existência, unicidade e regularidade da
solução para um problema misto associado à equação da onda linear.
Consideremos Ω ⊂ R n um conjunto aberto limitado com fronteira Γ suficientemente
regular. Denotaremos por ν o vetor normal exterior a Γ e para T > 0 um número real, seja
Q = Ω × (0, T ) ⊂ R n+1 o cilindro com fronteira lateral Σ = Γ × (0, T ).
Problema: Dados φ0 , φ1 e f, achar uma função numérica φ : Ω × [0, T ] → R que satisfaça:
⎧
⎪⎨
φ
⎪⎩
′′ − △φ = f em Q,
φ = 0 sobre Σ,
(2.1)
2.1 Solução Forte
φ (·, 0) = φ 0 , φ ′ (·, 0) = φ 1 em Ω.
O objetivo nesta seção é provar a existência e unicidade de solução para o problema
(2.1), quando φ 0 , φ 1 e f são dados bastante regulares.
Definição 2.1 Dizemos que uma função φ : Q → R é solução forte do problema (2.1)
quando:
φ ∈ L ∞ 0, T ; H 1 0 (Ω) ∩ H 2 (Ω) , (2.2)
φ ′ ∈ L ∞ 0, T ; H 1 0 (Ω) , (2.3)
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