Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Prova: Ver [6].
Teorema 1.7 (Banach-Steinhaus) Sejam E e F dois espaços de Banach. Seja (Tn) uma
sucessão de operadores lineares contínuos de E em F tais que para cada x ∈ E, Tnx converge
quando n → ∞ a um limite que denotamos por Tx. Então tem-se:
(i) sup TnL(E,F ) < ∞,
n
(ii) T ∈ L (E, F ) ,
(iii) T L(E,F ) ≤ lim Tn L(E,F ) .
Prova: Ver [6].
Teorema 1.8 (Gauss-Green) Se u ∈ C 1 (Ω), então
Prova: Ver [6].
Ω
Ω
uxi dx =
Teorema 1.9 (Fórmulas de Green ) (i) Se γ ∈ H2 (Ω), então
∂γ
− u∆γdx +
Ω
Γ ∂ν uds, ∀u ∈ H1 (Ω).
(ii) Se u, γ ∈ H2
(Ω), então u∆γ − γ∆udx = u ∂γ ∂u
− γ
∂ν ∂ν ds.
Prova: Ver [6].
∂Ω
Γ uνi dΓ (i = 1, 2, ..., n).
Ω
∇γ · ∇udx =
Teorema 1.10 (Representação de Riesz) Sejam 1 < p < ∞ e ϕ ∈ (L p ) ′ . Então existe
um único u ∈ Lq , onde 1 1 + p q
Além disso se verifica
Prova: Ver [6].
= 1, tal que
〈ϕ, f〉 = uf, ∀f ∈ L p .
u L q = ϕ (L p ) ′ .
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