Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p = 1, faremos a identificação
L 1 (0, T ; X) ′ ≈ L ∞ (0, T ; X ′ ) .
Essas identificações encontram-se detalhadas em [21].
O espaço vetorial das aplicações lineares e contínuas de D (0, T ) em X é denominado
de Espaço das Distribuições Vetoriais sobre (0, T ) com valores em X e denotado por
D ′ (0, T ; X) .
Definição 1.4 Dada S ∈ D ′ (0, T ; X), define-se a derivada de ordem n como sendo a
distribuição vetorial sobre (0, T ) com valores em X dada por
n d S
, ϕ
dtn = (−1) n
S, dnϕ dtn
, ∀ ϕ ∈ D (0, T ) .
Exemplo 1.4 Dadas u ∈ L p (0, T ; X) , 1 ≤ p < ∞, e ϕ ∈ D (0, T ) a aplicação
Tu : D (0, T ) → X, definida por
T
Tu (ϕ) = u (t) ϕ (t) dt,
0
integral de Bochner em X, é linear e contínua no sentido da convergência de D (0, T ), logo
uma distribuição vetorial. A aplicação u ↦→ Tu é injetiva, de modo que podemos identificar
u com Tu e, neste sentido, temos L p (0, T ; X) ⊂ D ′ (0, T ; X) .
Para 1 ≤ p ≤ ∞, consideremos o espaço
W m,p (0, T ; X) = u ∈ L p (0, T ; X) ; u (j) ∈ L p (0, T ; X) , j = 1, ..., m ,
onde u (j) representa a j-ésima derivada de u no sentido das distribuições vetoriais. Equipado
com a norma
⎧
m
⎪⎨
u
j=0
uW m,p (0,T ;X) =
⎪⎩
(j) (t)
Lp , 1 ≤ p < ∞,
(0,T ;X)
m
(j) u (t) X , p = ∞,
sup ess
t∈(0,T )
j=0
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