Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Dado um número inteiro m > 0, por W m,p (Ω) , 1 ≤ p ≤ ∞, representa-se o espaço de
Sobolev de ordem m sobre Ω, isto é, o espaço vetorial das (classes de) funções u ∈ L p (Ω)
tais que D α u ∈ L p (Ω), para todo multi-índice α, com |α| ≤ m.
e
O espaço W m,p (Ω) munido da norma
⎛
uW m,p (Ω) = ⎝
|α|≤m
é um espaço de Banach (vide [26]) .
|D
Ω
α u (x)| p dx
⎞
⎠
1
p
, quando 1 ≤ p < ∞
uW m,∞ (Ω) =
sup ess |D α u (x)| , quando p = ∞,
|α|≤m
x∈Ω
Dado um espaço de Banach X, denotaremos por L p (0, T ; X) , 1 ≤ p < ∞, o espaço de
Banach das (classes de) funções u, definidas em (0, T ) com valores em X, que são fortemente
mensuráveis e u (t) p
X
é integrável a Lebesgue em (0, T ) , com a norma
T
u (t)Lp (0,T ;X) =
0
u (t) p
X dt
1
p
.
Por L ∞ (0, T ; X) representa-se o espaço de Banach das (classes de) funções u, definidas em
(0, T ) com valores em X, que são fortemente mensuráveis e u (t) X possui supremo essencial
finito em (0, T ) , com a norma
u (t)L∞ (0,T ;X) = sup ess u (t)X .
t∈(0,T )
Observação 1.5 Quando p = 2 e X é um espaço de Hilbert, o espaço L 2 (0, T ; X) é um
espaço de Hilbert, cujo produto interno é dado por
T
(u, v) L2 (0,T ;X) = (u (t) , v (t)) X dt.
Se X é separável, então podemos identificar
0
[L p (0, T ; X)] ′ ≈ L q (0, T ; X ′ ) ,
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