Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Exemplo 1.2 Seja u ∈ L 1 loc (Ω) . O funcional Tu : D (Ω) → R, definido por<br />
<br />
〈Tu, ϕ〉 =<br />
Ω<br />
u (x) ϕ (x) dx,<br />
é uma distribuição sobre Ω univocamente determina<strong>da</strong> por u (ver [25]) . Por esta razão,<br />
identifica-se u à distribuição Tu por ela defini<strong>da</strong> e, desta forma, L1 loc (Ω) será identificado a<br />
uma parte (própria) de D ′ (Ω) .<br />
Exemplo 1.3 Consideremos 0 ∈ Ω e o funcional δ0 : D (Ω) → R, definido por<br />
〈δ0, ϕ〉 = ϕ (0) .<br />
δ0 é uma distribuição sobre Ω (ver [25]) . Além disso, mostra-se que δ0 não é definido por<br />
uma função de L 1 loc (Ω) , isto é, não existe f ∈ L1 loc (Ω) tal que 〈δ0, ϕ〉 = fϕ.<br />
Definição 1.2 Diz-se que uma sequência (Tn) n∈N em D ′ (Ω) converge para T em D ′ (Ω) ,<br />
quando a sequência numérica (〈Tn, ϕ〉) n∈N convergir para 〈T, ϕ〉 em R, para to<strong>da</strong> ϕ ∈ D (Ω) .<br />
Definição 1.3 Sejam T uma distribuição sobre Ω e α um multi-índice. A deriva<strong>da</strong> D α T<br />
(no sentido <strong>da</strong>s distribuições) de ordem |α| de T é o funcional definido em D (Ω) por<br />
〈D α T, ϕ〉 = (−1) |α| 〈T, D α ϕ〉 , ∀ϕ ∈ D (Ω) .<br />
Observação 1.2 Decorre <strong>da</strong> Definição 1.3 que ca<strong>da</strong> distribuição T sobre Ω possui deriva<strong>da</strong>s<br />
de to<strong>da</strong>s as ordens.<br />
Observação 1.3 D α T é uma distribuição sobre Ω, onde T ∈ D ′ (Ω) . De fato, vê-se<br />
facilmente que D α T é linear. Agora, para a continui<strong>da</strong>de, consideremos (ϕn) n∈N convergindo<br />
para ϕ em D (Ω) . Assim, |〈D α T, ϕn〉 − 〈D α T, ϕ〉| ≤ |〈T, D α ϕn − D α ϕ〉| → 0, quando<br />
n → ∞.<br />
Observação 1.4 A aplicação D α : D ′ (Ω) → D ′ (Ω) tal que T ↦→ D α T é linear e contínua<br />
no sentido <strong>da</strong> convergência defini<strong>da</strong> em D ′ (Ω) (ver [26]) .<br />
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