Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Capítulo 1
Preliminares
trabalho.
Neste capítulo daremos algumas definições e resultados essenciais à continuidade do
1.1 Espaços Funcionais
Dados Ω ⊂ R n um aberto e uma função contínua f : Ω −→ R, define-se suporte de f, e
denota-se por supp(f), o fecho em Ω do conjunto {x ∈ Ω; f (x) = 0} . Assim, supp(f) é um
subconjunto fechado de Ω.
Uma n-upla de inteiros não negativos α = (α1, ..., αn) é denominada de multi-índice e
sua ordem é definida por |α| = α1 + ... + αn.
Representa-se por D α o operador de derivação de ordem |α| , isto é,
D α =
∂ |α|
∂x α1
1 ...∂xαn .
Para α = (0, 0, ..., 0) , define-se D 0 u = u, para toda função u.
Por C ∞ 0 (Ω) denota-se o espaço vetorial, com as operações usuais, das funções
infinitamente diferenciáveis definidas e com suporte compacto em Ω.
Um exemplo clássico de uma função de C ∞ 0 (Ω) é dado por
Exemplo 1.1 Seja Ω ⊂ R n um aberto tal que B1 (0) = {x ∈ R n ; x < 1} ⊂ Ω.
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n