Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Consideremos o sistema
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u ′′ − ∆u = 0 em
⎧
⎨ v sobre
u =
⎩ 0 sobre
Q,
Σ0 = Γ0 × (0, T ) ,
Σ − Σ0,
u(·, 0) = u 0 , u ′ (·, 0) = u 1 em Ω,
onde u = u (x, t) é o estado e v = v (x, t) a função controle. O problema de controle consiste
em encontrar uma maneira de v atuar em Σ0 de tal forma que a solução u do sistema (2)
alcance o equilíbrio no instante T .
No sistema (2) o controle encontra-se localizado na fronteira. O controle pode atuar
também no interior do domínio.
Seja ω um subconjunto aberto de Ω e 1ω sua função característica. Consideremos o
sistema ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
u ′′ − ∆u = h1ω em Q,
u = 0 em Σ,
u (0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 em Ω,
onde u = u (x, t) é o estado e h = h (t, x) a função controle.
O problema de controlabilidade pode ser considerado em vários graus de precisão de
acordo o objetivo proposto. De maneira mais precisa, o problema de controlabilidade pode
ser formulado da seguinte forma:
Considere um sistema de evolução (descrito por EDO ou EDP). Dados um intervalo de
tempo (0, T ) e estados inicial e final, devemos encontrar um controle tal que a solução do
sistema seja igual ao estado inicial no tempo t = 0 e alcance o estado final no tempo t = T.
Contudo, a condição de dirigir a solução ao estado final no tempo t = T, pode ser
interpretada de diferentes formas, dando lugar a diversas noções de controlabilidade de um
sistema. Muitos problemas de diferentes naturezas se adequam neste amplo contexto e,
suas resoluções, dependem de diversos aspectos do sistema: linearidade ou não-linearidade,
reversibilidade, estrutura do conjunto de controles admissíveis, entre outros.
Nosso trabalho está direcionado ao estudo de dos tipos de controlabilidade: quando o
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