Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Consideremos o sistema<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
u ′′ − ∆u = 0 em<br />
⎧<br />
⎨ v sobre<br />
u =<br />
⎩ 0 sobre<br />
Q,<br />
Σ0 = Γ0 × (0, T ) ,<br />
Σ − Σ0,<br />
u(·, 0) = u 0 , u ′ (·, 0) = u 1 em Ω,<br />
onde u = u (x, t) é o estado e v = v (x, t) a função controle. O problema de controle consiste<br />
em encontrar uma maneira de v atuar em Σ0 de tal forma que a solução u do sistema (2)<br />
alcance o equilíbrio no instante T .<br />
No sistema (2) o controle encontra-se localizado na fronteira. O controle pode atuar<br />
também no interior do domínio.<br />
Seja ω um subconjunto aberto de Ω e 1ω sua função característica. Consideremos o<br />
sistema ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
u ′′ − ∆u = h1ω em Q,<br />
u = 0 em Σ,<br />
u (0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 em Ω,<br />
onde u = u (x, t) é o estado e h = h (t, x) a função controle.<br />
O problema de controlabili<strong>da</strong>de pode ser considerado em vários graus de precisão de<br />
acordo o objetivo proposto. De maneira mais precisa, o problema de controlabili<strong>da</strong>de pode<br />
ser formulado <strong>da</strong> seguinte forma:<br />
Considere um sistema de evolução (descrito por EDO ou EDP). Dados um intervalo de<br />
tempo (0, T ) e estados inicial e final, devemos encontrar um controle tal que a solução do<br />
sistema seja igual ao estado inicial no tempo t = 0 e alcance o estado final no tempo t = T.<br />
Contudo, a condição de dirigir a solução ao estado final no tempo t = T, pode ser<br />
interpreta<strong>da</strong> de diferentes formas, <strong>da</strong>ndo lugar a diversas noções de controlabili<strong>da</strong>de de um<br />
sistema. Muitos problemas de diferentes naturezas se adequam neste amplo contexto e,<br />
suas resoluções, dependem de diversos aspectos do sistema: lineari<strong>da</strong>de ou não-lineari<strong>da</strong>de,<br />
reversibili<strong>da</strong>de, estrutura do conjunto de controles admissíveis, entre outros.<br />
Nosso trabalho está direcionado ao estudo de dos tipos de controlabili<strong>da</strong>de: quando o<br />
4<br />
(2)<br />
(3)