Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

forma como o controle v atua sobre o sistema. Por simplicidade, assumamos que, para
cada v ∈ R, a equação (1) possua exatamente uma solução y = y (v) em Y . Então,
aproximadamente falando, controlar (1) é achar v ∈ R tal que a solução para (1) obtida
se dirige ao estado prescrito desejado. Veremos que, quando o sistema é controlável, o
controle pode ser construído por minimização de um funcional (funcional custo). Entre
todos os controles admissíveis, o controle obtido pela minimização do funcional é de norma
mínima, e é freqüentemente chamado de ”melhor controle”.
Matematicamente, os problemas de controle podem se distinguir entre: problemas não
lineares/lineares, equações estacionárias/de evolução, sistemas em dimensão finita/infinita,
etc. Grande parte da investigação matemática que se desenvolve atualmente na Teoria de
Controle está centrada nos modelos em dimensão infinita. A equação da onda desde o
ponto de vista das aplicações, tem sido das mais estudadas, pois modela muitos fenômenos
físicos tais como: pequenas vibrações de corpos elásticos, propagação do som, e modelos
fundamentais da mecânica quântica. Além de ser a mais representativa EDP do tipo
hiperbólica, é de grande interesse no estudo de questões relacionadas à controlabilidade.
Os primeiros estudos sobre esta equação, realizam-se no final do século XVIII, época
em que estavam-se estabelecendo os pilares fundamentais da Análise Matemático tal qual
entendemos hoje. Em 1747 d’Alembert em [3] e [2], propor uma expresão para a solução da
equação sem condições de contorno. Posteriormente Bernoulli, em seu artigo [5] de 1753,
obteve soluções da equação da corda vibrante. Os desenvolvimentos posteriores que tem se
produzido estão freqüentemente ligados a avanços importantes em análise de Fourier, óptica
geométrica, análise numérica, etc. Dessa maneira pode-se afirmar que a equação da onda é
uma das protagonistas mais destacadas da Matemática destes dois últimos séculos.
Nesta dissertação estudamos algumas propriedades (existência, unicidade, regularidade
e controlabilidade) da equação da onda linear com condições de contorno tipo Dirichlet.
Seja Ω ⊂ R n um conjunto aberto, limitado e com fronteira Γ suficientemente regular e
para T > 0 um número real, seja Q = Ω × (0, T ) ⊂ R n+1 o cilindro com fronteira lateral
Σ = Γ × (0, T ) . Seja Γ0 uma parte de Γ, com medida positiva tal que Γ0 ∩ (Γ − Γ0) = ∅.
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