Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

mistérios do controle de sistemas.
A controlabilidade de Equações Diferenciais Parciais (EDP) tem sido objeto de um
estudo intenso durante as duas últimas décadas, porém o tema já fora antes abordado. Em
1965 Markus [22] introduziu o conceito de controlabilidade de sistemas descritos por Equações
Diferenciais Ordinárias (EDO). Neste mesmo contexto, podemos ainda citar o clássico livro
de Lee e Markus [14]. A controlabilidade de EDP, objetivo da nossa dissertação, teve um
grande impulso com os trabalhos de Russel [29] e [30], publicando em 1978 um artigo onde
apresentava uma boa perspectiva sobre os resultados mais relevantes que até esse momento
haviam sido desenvolvidos. Esses freqüentemente estavam relacionados com outras áreas de
EDP: multiplicadores, análise de Fourier não-harmônica, etc. Desde então, diversos autores
tem contribuído com resultados muito significativos para o estudo da controlabilidade. Por
exemplo, Lions [21] em 1986 introduziu um método sistemático e construtivo conhecido como
Método de Unicidade Hilbertiana (HUM). O HUM consiste em reduzir a controlabilidade
exata de sistemas lineares em um resultado de continuação única, que é equivalente à
obtenção de uma desigualdade inversa, também denominada por Ho [10], desigualdade de
observabilidade. A partir do HUM muitas descobertas importantes foram feitas neste campo.
Indicaremos brevemente, em termos matemáticos, o que entendemos por problemas de
controle. Para fixar as idéias, assumiremos que desejamos obter um bom comportamento de
um sistema físico representado pela equação
A(y) = f(v), (1)
onde y é o estado, a incógnita do sistema que desejamos controlar e pertence ao espaço
vetorial Y. Por outra parte v é o controle que pertence ao conjunto de controles admissíveis
R. Esta é a variável que podemos escolher livremente em R, para atuar no sistema.
Consideremos
A : D(A) ⊂ Y → Y e f : R → Y
duas aplicações (lineares ou não lineares). O operador A determina a equação que deve
ser satisfeita pela variável estado y, de acordo com as leis da física. A função f indica a
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