Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

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[23] MEDEIROS, L. A, Exact Controllability for Wave Equations - HUM, Atas do 37 o SBA, (1993), 61-173. [24] MEDEIROS, L. A, Tópicos em Equações Diferenciais Parciais, Parte I, IM-UFRJ, Rio de Janeiro, (2006) . [25] MEDEIROS, L. A. e MILLA MIRANDA, M., Introdução aos Espaços de Sobolev e às Equações Diferenciais Parciais, Textos de Métodos Matemáticos, vol. 25, IM-UFRJ, Rio de Janeiro, (1989). [26] MEDEIROS, L. A. e RIVERA, P. H., Espaços de Sobolev e Equações Diferenciais Parciais, Textos de Métodos Matemáticos, vol. 9, IM-UFRJ, Rio de Janeiro, (1977). [27] MICU, S. and ZUAZUA, E., An Introduction to the Controllability of Partial Differential Equations, Universidad Autónoma de Madrid, España. [28] MILLA MIRANDA, M., Análise Espectral em Espaços de Hilbert, Textos de Métodos Matemáticos, vol. 28, IM-UFRJ, Rio de Janeiro, (1994). [29] RUSSEL, D. L., A Unified Boundary Controllability Theory for Hyperbolic and Parabolic Partial Differential Equations, Studies in Appl. Math., 52 (1973) , 189-221. [30] RUSSEL, D. L., Controllability and Stabilizability Theory for Linear Partial Differential Equations. Recent Progress and Open Questions, SIAM Rev. 20 (1978) , 639-739 [31] SCHWARTZ, L., Théorie des Distributions, Hermann, (1966). [32] VISIK, M. I., LADYZENSKAYA, O. A., Boundary value problems for partial differential equations and certain classes of perator equations, Uspehi Mat. Nauk (NS), 11 (672), (1956) , 41-97. [33] ZUAZUA, E., An Introduction to the Exact Controllability for Distributed Systems, CMAF, Universidade de Lisboa, Portugal, (1990). 107
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Controlabilidade Exata e Aproximada
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Ficha Catalográfica MURILLO, Kelly
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À ”Turma de Compatriotas”: Ale
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Resumo Estudamos os problemas de co
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Sumário Introdução 1 1 Prelimina
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Notações e Simbologias • (·,
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mistérios do controle de sistemas.
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Consideremos o sistema ⎧ ⎪⎨
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Capítulo 1 Preliminares trabalho.
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Exemplo 1.2 Seja u ∈ L 1 loc (Ω
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onde (1/p) + (1/q) = 1. Quando p =
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Lema 1.2 (Rellich-Kondrachov) Seja
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Prova: Ver [6]. Teorema 1.7 (Banac
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Capítulo 2 Soluções da Equação
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onde os gjm(t) são soluções do s
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onde C > 0 independe de m e t. Pass
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Desde que φ ∈ L ∞ (0, T ; H 1
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Teorema 2.2 (Energia) Se φ é solu
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Prova: A solução forte φ é o li
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Como {wi} i é uma base ortonormal
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Logo pelos mesmos argumentos usados
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Logo pelas covergências dadas em (
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Assim w ∈ L ∞ (0, T, H 1 0 (Ω
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e, pelo Lema de Gronwall (Lema 1.3)
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Seja (hk)1≤k≤n o campo vetorial
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Substituindo (2.91) em (2.90) segue
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onde Em (t) é a energia associada
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Sendo w ∈ L 1 (0, T ; H 1 0(Ω)
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onde 〈·, ·〉 representa difere
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Prova: Seja w ∈ H 2 0 (0, T ; H 2
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Assim, pela desigualdade de Cauchy-
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Sabemos que: 1 2 Q ∂hk ∂xk |
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Notemos que (2.170) e (2.171) são
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Page 69 and 70: Consideremos o problema não homog
Page 71 and 72: Dessa forma, temos por (3.8) que
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Page 79 and 80: Por outra parte, como ψ = 0 e φ =
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Page 83 and 84: Da desigualdade direta (3.46) obtem
Page 85 and 86: outro controle tal que para dados i
Page 87 and 88: (ii) Para ε > 0, o problema (3.57)
Page 89 and 90: podemos reescrever (3.61) por inf
Page 91 and 92: Seja ρ0 j, ρ1 j (3.62) tal que
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Page 95 and 96: Consideremos o operador linear e co
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Page 99 and 100: de (3.30) satisfaz (3.72) . Além d
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Page 103 and 104: Agora, considerando X(t) = ⎡ ⎣
Page 105 and 106: Apêndice B Desigualdades de Observ
Page 107 and 108: onde E (t) é a energia definida em
Page 109 and 110: B.2 Observabilidade para o Controle
Page 111 and 112: Mostremos que, dado ε > 0 tal que
Page 113 and 114: Multiplicando ambos lados de (3.32)
Page 115 and 116: φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ e
Page 117: [11] KALMAN, R. E., Optimization, M
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