Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

φ ′ m → φ ′ fraco − ∗ em L ∞ 0, T ; L 2 (Ω) . (B.45)
As estimativas (B.43) implicam que (φm) é limitada em H 1 (Q) . Como H 1 (Q) c
↩→ L 2 (Ω)
(ver Lema 1.2), existe uma subsequência de (φm) , que denotaremos por (φm) , tal que
φm → φ forte em L 2 0, T ; L 2 (ω) . (B.46)
De (B.42) , (B.45) e o Teorema de Banach-Steinhauss (Teorema 1.7), segue que φ ′ (x, t) = 0
em ω × (0, T ), isto é, φ (x, t) é constante com respeito a t em ω × (0, T ) . Mas φ = 0 sobre
Σ, porque φ é solução de (3.32) . Logo, pelo Teorema de Holmgren (ver [16]), φ (x, t) = 0 em
ω × (0, T ). Então, por (B.46) , temos
φm → 0 forte em L 2 0, T ; L 2 (ω) .
Como (B.30) também é verdadeira para φm, podemos concluir a convergência
∂φm
∂ν → 0 forte em L2 (Σ0) ,
à qual, juntamente com a desigualdade direta (B.22), permite-nos dizer que
que é uma contradição com (B.41) 2 .
0
φm, φ 1 1
m → {0, 0} forte em H0 (Ω) × L 2 (Ω) ,
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