Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

a qual, após substituir em (B.31) , fornece-nos
0
φ 2 + 1
φ 2 T
≤ C
0
ω
|φ ′ | 2 + |φ| 2
dxdt. (B.40)
Dessa forma, combinando (2.99) e (B.40) obtemos a desigualdade (B.30) .
• Terceiro passo
Suponhamos que a desigualdade (B.17) não seja verdadeira, então para um número
natural m, existem dados iniciais φ 0
m e φ 1
m tais que a solução φ m de (3.32) correspondendo a
estes dados satisfaz
φ
0
Definamos k =
De (B.41) temos que
m
2
φ 0
m
2
+
φ 1
+ φ 1
≥ m φ ′
m
1
2
2
m
2
e φ 0 m = φ0
m
m
2
L2 (0,T ;L2 (ω))
k ; φ1m = φ1m
φ ′ m 2
L2 (0,T ;L2 1
(ω)) ≤
n ,
φ0 m + |φ1 m| 2 = 1.
T
lim
n−→∞
0
ω
.
k ; φm = φm . Assim
k
(B.41)
|φ ′ m| 2 dxdt = 0 (B.42)
e que podemos extrair subsequências, denotadas da mesma forma, tais que
φ
0 m → φ0 forte em H1 0 (Ω) ,
φ 1 m → φ 1 forte em L 2 (Ω) .
Para cada m ∈ N, consideremos φm como sendo a solução de (3.32) correspondente aos
dados iniciais φ 0 m e φ 1 m. Por argumentos similares aos usados na Seção 2.2, podemos garantir
que
(φm) é limitada em L ∞ (0, T ; H 1 0 (Ω)) ,
(φ ′ m) é limitada em L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) .
Notemos que as limitações em (B.43) também são verdadeiras em ω ⊂ Ω.
Por (B.43) , existe uma subsequência (φm) , ainda denotada por (φm) , tal que
(B.43)
φm → φ fraco − ∗ em L ∞ 0, T ; H 1 0 (Ω) , (B.44)
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