Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear
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Multiplicando ambos lados de (3.32) 1 por pφ e integrando por partes em Q, obtemos<br />
<br />
pφφ ′′ <br />
dxdt − pφ∆φdxdt = 0. (B.33)<br />
Q<br />
Iremos agora obter expresões para as integrais em (B.33) .<br />
Analisemos a primeira integral. Notemos que<br />
<br />
pφφ ′′ T<br />
dxdt =<br />
Q<br />
0<br />
Q<br />
(φ ′′ , pφ) dt = (φ ′ , pφ)| T<br />
0 −<br />
Como p (x, t) = p (x, T ) = 0, então<br />
T<br />
(φ ′′ T<br />
, pφ) dt = −<br />
0<br />
0<br />
T<br />
0<br />
(φ ′ , pφ ′ ) dt −<br />
(φ ′ , pφ ′ ) dt −<br />
T<br />
Analisemos a segun<strong>da</strong> integral. Vejamos que<br />
<br />
<br />
<br />
− ∆φpφdxdt = ∇φ · ∇ (pφ) dxdt −<br />
Q<br />
Q<br />
0<br />
T<br />
0<br />
(p ′ φ, φ ′ ) dt.<br />
(p ′ φ, φ ′ ) dt. (B.34)<br />
Σ<br />
pφ ∂φ<br />
∂ν dΓdt.<br />
A integral de superficie em Σ é zero porque φ é solução de (3.32) . Então,<br />
<br />
T <br />
T <br />
− ∆φpφdxdt = p (∇φ · ∇φ) dxdt + (∇p · ∇φ) φdxdt, (B.35)<br />
Q<br />
porque p (x, t) = 0 em Ω − ω.<br />
0<br />
ω<br />
Substituindo as igual<strong>da</strong>des (B.34) e (B.35) em (B.33) temos<br />
T <br />
p |∇φ| 2 T <br />
dxdt = pφ ′2 T <br />
dxdt + p ′ φφ ′ T <br />
dxdt − (∇p · ∇φ) φdxdt. (B.36)<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
ω<br />
Por (B.32) , podemos garantir de (B.36) que:<br />
T <br />
p |∇φ| 2 T <br />
dxdt ≤ C<br />
<br />
|φ ′ | 2 + |φ| 2<br />
<br />
T <br />
dxdt + <br />
<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
ω<br />
Observemos que<br />
<br />
T <br />
<br />
<br />
<br />
T <br />
(∇p · ∇φ) φdxdt<br />
1<br />
≤<br />
2<br />
p |∇φ| 2 dxdt + 1<br />
T <br />
2<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
ω<br />
0<br />
0<br />
0<br />
ω<br />
ω<br />
<br />
<br />
(∇p · ∇φ) φdxdt<br />
. (B.37)<br />
ω<br />
|∇p| 2<br />
p φ2 dxdt. (B.38)<br />
Por viste de (B.32), segue por (B.37) e (B.38) que<br />
T −ε<br />
|∇φ| 2 T <br />
dxdt ≤ C<br />
<br />
|φ ′ | 2 + |φ| 2<br />
dxdt, (B.39)<br />
ε<br />
ω0<br />
0<br />
102<br />
ω