Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Multiplicando ambos lados de (3.32) 1 por pφ e integrando por partes em Q, obtemos
pφφ ′′
dxdt − pφ∆φdxdt = 0. (B.33)
Q
Iremos agora obter expresões para as integrais em (B.33) .
Analisemos a primeira integral. Notemos que
pφφ ′′ T
dxdt =
Q
0
Q
(φ ′′ , pφ) dt = (φ ′ , pφ)| T
0 −
Como p (x, t) = p (x, T ) = 0, então
T
(φ ′′ T
, pφ) dt = −
0
0
T
0
(φ ′ , pφ ′ ) dt −
(φ ′ , pφ ′ ) dt −
T
Analisemos a segunda integral. Vejamos que
− ∆φpφdxdt = ∇φ · ∇ (pφ) dxdt −
Q
Q
0
T
0
(p ′ φ, φ ′ ) dt.
(p ′ φ, φ ′ ) dt. (B.34)
Σ
pφ ∂φ
∂ν dΓdt.
A integral de superficie em Σ é zero porque φ é solução de (3.32) . Então,
T
T
− ∆φpφdxdt = p (∇φ · ∇φ) dxdt + (∇p · ∇φ) φdxdt, (B.35)
Q
porque p (x, t) = 0 em Ω − ω.
0
ω
Substituindo as igualdades (B.34) e (B.35) em (B.33) temos
T
p |∇φ| 2 T
dxdt = pφ ′2 T
dxdt + p ′ φφ ′ T
dxdt − (∇p · ∇φ) φdxdt. (B.36)
0
ω
0
ω
Por (B.32) , podemos garantir de (B.36) que:
T
p |∇φ| 2 T
dxdt ≤ C
|φ ′ | 2 + |φ| 2
T
dxdt +
0
ω
0
ω
0
ω
Observemos que
T
T
(∇p · ∇φ) φdxdt
1
≤
2
p |∇φ| 2 dxdt + 1
T
2
0
ω
0
ω
0
ω
0
0
0
ω
ω
(∇p · ∇φ) φdxdt
. (B.37)
ω
|∇p| 2
p φ2 dxdt. (B.38)
Por viste de (B.32), segue por (B.37) e (B.38) que
T −ε
|∇φ| 2 T
dxdt ≤ C
|φ ′ | 2 + |φ| 2
dxdt, (B.39)
ε
ω0
0
102
ω