Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

porque q (x, t) = ν sobre Γ (x 0 ) × (ε, T − ε), e
(φ ′ (t) , q · ∇φ) T 0 = 0, (B.27)
pois η (0) = η (T ) = 0. Temos ainda que, como q ∈ C1 Ω × (0, T ) , divq é limitado e
∂qk
∂φ ∂φ
dxdt
∂φ ∂φ
≤ C
dxdt
ω×(0,T ) ∂xj ∂xk ∂xj
k,j
ω×(0,T ) ∂xk ∂xj
T
≤ C |∇φ| 2 T
′ 2 2
dxdt ≤ C |φ | + |∇φ| (B.28)
dxdt.
ε
0
ω
Γ(x 0 )
0
Substituindo (B.26) − (B.28) em (B.25), temos
T −ε
2 T
∂φ
dΓdt ≤ C
∂ν
|φ ′ | 2 + |∇φ| 2
dxdt. (B.29)
0
A estimativa (B.29) é válida para todo T > 2R (x 0 ) . Portanto, sendo ε > 0 tal que
T − 2ε > 2R (x 0 ) , pelo argumento utilizado anteriormente e combinando (B.23) e (B.29)
obtemos (B.21) .
• Segundo passo
Provemos que
Σ(x 0 )
2 T
∂φ
dΓdt ≤ C
∂ν
0
ω
ω
ω
|φ ′ | 2 + |φ| 2
dxdt. (B.30)
Seja ω0 ⊂ Ω uma vizinhança de Γ (x 0 ) tal que Ω ∩ ω0 ⊂ ω. Observemos que (B.21) é
verdadeira para cada vizinhança de Γ (x0 ), em particular para ω0. Logo,
T −ε
E (0) ≤ C
|φ ′ | 2 + |∇φ| 2
dxdt. (B.31)
ε
ω0
Consideremos ρ ∈ W 1,∞ (Ω), ρ ≥ 0 tal que ρ (x) = 1 em ω0 e ρ (x) = 0 em Ω − ω.
Definamos p (x, t) em Q por p (x, t) = η (t) ρ 2 (x) , onde η (t) é a função acima definida.
Assim
p (x, t) = 1 em ω0 × (ε, T − ε) ,
p (x, t) = 0 em (Ω − ω) × (0, T ) ,
p (x, 0) = p (x, T ) = 0 em Ω,
|∇p|
p ∈ L∞ (Q) .
101
(B.32)