Controlabilidade Exata e Aproximada da Equação da Onda Linear

Mostremos que, dado ε > 0 tal que T − 2ε > 2R (x0 ) , vale a seguinte desigualdade:
T −ε
E (0) ≤ C
|φ ′ | 2 + |∇φ| 2
dxdt. (B.21)
ε
Com efeito, para T > 2R (x 0 ) sabemos pela desigualdade (B.1) que
para a solução φ de (3.32) .
Ω
∇φ 0 (x) 2 + φ 1 (x) 2
dx ≤
w
R (x0 )
T − 2R (x0
) Σ(x0 )
2 ∂φ
dΓdt, (B.22)
∂ν
Suponhamos que T > 2R (x 0 ) é tal que existe ε > 0 tal que T − 2ε > 2R (x 0 ). Nestas
condições, de (B.23) , da invariância da equação da ondas respeito as translações na variável
tempo e da conservação da energia deduzimos
E (0) = 1
∇φ
0 2
(x) + φ1 2
(x)
2 Ω
dx ≤ C
T −ε
ε
Γ0
2 ∂φ
dΓdt, (B.23)
∂ν
Considere h ∈ C 1 Ω n tal que h · ν ≥ 0 para todo x ∈ Γ, h = ν sobre Γ (x 0 ) e h = 0
em Ω − ω. Seja η ∈ C 1 ([0, T ]) tal que η (0) = η (T ) = 0, η (t) = 1 em (ε, T − ε) . Definamos
q (x, t) = η (t) h (x) , a qual pertence a W 1,∞ (Q) e satisfaz
q (x, t) = ν (x) ∀ (x, t) ∈ Γ (x0 q (x, t) · ν (x) ≥ 0
q (x, 0) = q (x, T ) = 0
q (x, t) = 0
) × (ε, T − ε) ,
∀ (x, t) ∈ Γ × (0, T ) ,
∀ x ∈ Ω,
∀ (x, t) ∈ (Ω − ω) × (0, T ) .
(B.24)
Considerando o multiplicador q · ∇φ ∈ L 2 (Q) , onde φ é solução de (3.32) , podemos
deduzir do Lema 2.3 a seguinte identidade:
1
q · ν
2 Σ
+
ω×(0,T )
2 ∂φ
dΓdt = (φ
∂ν
′ (t) , q · ∇φ)| T
0
∂qk ∂φ ∂φ
dxdt.
∂xj ∂xk ∂xj
1
+ divq
2 ω×(0,T )
|φ ′ | 2 − |∇φ| 2 dxdt
(B.25)
Observando as características do campo vetorial q, acima definido, obtemos
T 2 1
∂φ
q · ν dΓdt ≥
2
∂ν
1
T −ε
2
2 ∂φ
dΓdt,
∂ν
(B.26)
0
Γ
100
ε
Γ(x 0 )